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1、浙江省丽水市龙泉育才中学高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域为，则的定义域为（ ）ABC D参考答案：A2. 已知函数f（x）=，则f（f（2）等于（）AB2C1D1参考答案：A【考点】对数的运算性质；函数的值【分析】先由解析式求得f（2），再求f（f（2）【解答】解：f（2）=，f（1）=21=，所以f（f（2）=f（1）=，故选A3. 已知双曲线x2=1与抛物线y2=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若PQF是等边三角形，则双曲线的离心率为（）ABCD参考答案：B【考
2、点】双曲线的简单性质【分析】由题意，x=2，等边三角形的边长为，将（2，）代入双曲线，可得方程，即可求出m的值【解答】解：由题意，x=2，等边三角形的边长为，将（2，）代入双曲线，可得=1，故选：B4. 在的展开式中，所有项的二项式系数和为4096，则其常数项为 A. B. C. D.参考答案：A5. 设全集U=R，集合A=x|x2+x0，则集合Cu A= （ ） A-1,0 B（-1,0） C（-，-1 0,+）D0,1参考答案：B略6. 下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是 ( ） A B C D参考答案：B7. 记集合, M=,将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）A
3、. B. C. D. 参考答案：A8. 已知集合，集合，则等于ABCD参考答案：B略9. ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cos A，则ABC为A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形参考答案：A10. 已知函数则满足不等式的的取值范围为( )A. B. (-3,1) C. -3,0) D. (-3,0)参考答案：D当时，满足,无解；当时，满足，解得；当时，满足，解得.综上可知，的范围为.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过点（-1,2）的直线l被圆 截得的弦长为，则直线l的斜率为_。参考答案：本题主要考查了直线与圆的位置关系以及圆心距与
4、弦长之间的关系.同时也考查了理解能力、应用能力和转化与化归的数学思想.属中等题。设直线方程为：，又因为圆是以（1,1）为圆心1为半径的圆，弦长为，所以.12. 数列an满足，则an=参考答案：【考点】8H：数列递推式【分析】由题意可知数列是以为首项，以5为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可求得=，即可求得an【解答】解：由=5， =，则数列是以为首项，以5为公差的等差数列，=+5（n1）=，an=，数列an的通项公式为：an=，故答案为：13. 抛物线上的动点到两定点（0，-1）、（1，-3）的距离之和的最小值为_.参考答案：414. 若函数()的图像过定点,点在曲线 上运动,则线段中点
5、轨迹方程是 参考答案：15. 函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0，0)的图象如下图所示，则f()的值为 参考答案：16. 在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知。若，则_.参考答案：略17. 函数的部分图像如图所示， .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知曲线C的极坐标方程是=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C，设曲线C上任一点为M（x，y），求的最小值参考答案：【考点】QH：参数方程化
6、成普通方程；O7：伸缩变换；Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化【分析】（1）利用2=x2+y2，将=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x1）代入下式消去参数t即可；（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出最小值【解答】解：（1）直线l的参数方程为为参数）由上式化简成t=2（x1）代入下式得根据2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2）代入C得设椭圆的参数方程为参数）则则的最小值为419. 设函数f（x）=lnx+x（）在f（x）=lnx+x（0x2）图象上任
7、意一点P（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（）不等式f（x）a+1，对x1，+）恒成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，问题转化为a，x0（0，2，根据二次函数的性质求出a的范围即可；（）求出函数f（x） 的导数，令g（x）=x2+xa，（x1），通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性求出a的范围即可【解答】解：（）依题意，知f（x）的定义域为（0，+），f（x）=+1，x（0，2，则有k=f（x0）=，在x0（0，2上恒成立，所以a，x0（0，2，当x0=2时， +x0
8、取得最大值4，所以a4；（）由不等式f（x）a+1，对x1，+）恒成立，f（x）=，令g（x）=x2+xa，（x1），则g（x）是x1，+）上的增函数，即g（x）2a，当a2时，g（x）0，所以f（x）0，因此f（x）是x1，+）上的增函数，则f（x）f（1）=0，因此a2时，不等式成立； 当a2时，即对x1，+），f（x）=0时，g（x）=0，求得x1=，（由于x1，所以舍去x2=1）当x1，）时，f（x）0，则f（x）是x1，）上的减函数，当x，+）时，f（x）0，则f（x）是x（，+）上的增函数，所以当x（1，）时，f（x）f（1）=0，因此a2时，不等式不成立；综合上述，所求范围是a2
9、【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题20. 已知椭圆的左顶点为，离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积参考答案：（1）；（2）【分析】(1)由左顶点M坐标可得a=2，再由可得c，进而求得椭圆方程。(2)设l的直线方程为，和椭圆方程联立，可得，由于，可用t表示出两个交点的纵坐标 和，进而得到的关于t的一元二次方程，得到取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出的面积。【详解】(1) 由题意可得：，得，则.所以椭圆的方程: (2) 当直线与轴重合，不妨取，此时当直线与轴不重合，设直线的方程为：,设
10、，联立得，显然，.所以当时，取最大值.此时直线方程为，不妨取，所以.又,所以的面积【点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题。21. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（I）（II）参考答案：（I）圆C的直角坐标方程为 直线C的直角坐标方程为x+y-4=0. 解 所以交点的极坐标为，注：极坐标系下点的表示不唯一.（II）（II）由（I）可得，P点与Q点的直角坐标分别为（0,2），（1,3）.故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=.所以 解得,22. （1
11、4分）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC()求证：OD平面PAB；()当k时，求直线PA与平面PBC所成角的大小； () 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？参考答案：解析：解法一()O、D分别为AC、PC的中点：ODPA,又AC平面PAB,OD平面PAB.()ABBC,OA=OC,OA=OC=OB,又OP平面ABC,PA=PB=PC.取BC中点E,连结PE,则BC平面POE,作OFPE于F,连结DF,则OF平面PBCODF是OD与平面PBC所成的角.又ODPA,PA与平面PBC所成角的大小等于ODF.在RtO
12、DF中,sinODF=,PA与平面PBC所成角为arcsin()由()知,OF平面PBC,F是O在平面PBC内的射影.D是PC的中点,若F是PBC的重心,则B、F、D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,OBPC.PCBD,PB=BC,即k=1.反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,O在平面PBC内的射影为PBC的重心.解法二：OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0).B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h). ()D为PC的中点,又,OD平面PAB.()k=则PA=2a,h=可求得平面PBC的法向量cos.设PA与平面PBC所成角为,刚sin=|cos()|=.PA与平面PBC所成的角为arcsin.()PBC的重心G(),=().OG平面PBC,又,h=,PA=,即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥.O为平面PBC内的射影为PBC的重心.
