《有理数加群与非零有理数乘群不同构的三种证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有理数加群与非零有理数乘群不同构的三种证明（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 有理数加群与非零有理数乘群不同构的三种证明 摘要：利用阶不相同法、否定满射法以及否定单射法三种方法证明了有理数加群与非零有理数乘群不同构。关键词：群；不同构；阶；保持运算；一、引言以下涉及到基数的内容可参看文献1，其它内容参看文献2。为了比较和区分两个代数系统，同构的概念被引入。群是只具有一种代数运算的代数系统，两个群同构指的是存在一个同构映射（保持运算的双射）。因此，要证明两个群同构，需要在两者之间建立一个保持运算的双射。 反过来，要证明两个群不同构没有固定的做法，只能具体问题具体分析，有很多种方法。 其一，由于群同构的一个必要条件是存在一个双射，因此基数不同的两个群一定不同构。如无限群与
2、有限群必不同构，12阶群与13阶群也不同构。如果能够否定单射或者满射，那就不同构。其二，由于群同构的另一个必要条件是双射必须保持运算，因此两个群由运算决定的性质是一样的，如两个群同为交换群或非交换群，两个群中对应的两个元素阶相同。所以，交换群与非交换群必不同构，对应元的阶不同也不同构。 其三，考察特殊元素等等，具体问题具体分析。下面我们证明命题：有理数加群 与非零有理数乘群 不同构。二、引理及证明为了命题的证明，我们需要引用一些已知的相关结论，免得重复造轮子。引理 设 是群 到群 的一个同构映射，则1. 把 的单位元 映到群 的单位元 ；2. 对于任意的 ， 与 的阶相同（或者同为无限阶，或者
3、阶是同一个正整数）在正式证明之前，先对 与 做一个初步的分析。 首先，这两个群的基数都是阿列夫零，所以是必定存在双射的，从这一点是没法证明它们不同构的。其次，普通加法和普通乘法显然都是满足交换律的，所以两个群都是交换群，于是从这一点也是没法证明它们不同构的。最后，容易知道 的单位元是0（阶为1），其它元素的阶都为无穷；的单位元是1（阶为1）， 的阶为2，其它元素的阶都为无穷。 这就足以证明 与不同构了。证法一（阶不相同法）：由 中不存在2阶元， 中存在2阶元 以及引理（2）可知命题成立。如果群中元素的阶不好求得，那么上述的简单方法就用不了，于是可以考虑其它方法。 观察到 的代数运算普通乘法会导
4、致平方的出现，进而导致非负，最后导致不满射。 由此，得到下述方法。证法二（否定满射法）：设 是 到 的一个保持运算的映射，对任意的 ，有 。由 保持运算可得 ，这意味着 的任一负数元都无原像，所以 不可能是满射，命题得证。上述方法是否定满射性，那么自然可以联想：能否否定单射性？观察到 中存在2阶元 ，利用这一点可以否定单射性。证法三（否定单射法）：设 是 到 的一个同构映射，由引理（1）知 。对于 ，由 是满射知存在 使得 。 再由 保持运算可得于是由 是单射知 ，解得 ，因此有 ，这与 矛盾。三、总结和推广由证法二（否定满射法），事实上我们证明了更强的结论：有理数加群 与非零有理数乘群 不满同态。 而且还可以类似地证明： 1. 代数系统 与代数系统 不满同态。（注意后者已不是群）（2）代数系统 与 不满同态，其中 或 。四 参考文献 1夏道行,吴卓人,严绍宗,舒五昌.实变函数论与泛函分析（第二版上册）M.高等教育出版社, 2010.2丘维声.抽象代数基础（第二版）M.高等教育出版社, 2015.基金项目：本文系“广西高校中青年教师基础能力提升项目（2017KY0711）”和“百色学院2015年度校级一般项目（2015KBNO2）”课题成果论文。 -全文完-
