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1、代数几何学代数几何研究就是平面解析几何与三维空间解析几何的推广。 大致说来，它是研究n维仿射空间或n维射影空间中多项式方程组的零点集合构成的几何对象之特性及其上的三大结构：代数结构，拓扑结构和序结构。此三大结构系Bourbaki学派布尔巴基提出，用来统摄结构数学，数学中但凡具有结构特征的板块，均由这三大母结构及其混合构成。对于1元n次方程的解，我们有很好的结果，即代数学根本定理：在复数域C内，任意1元n次方程一定有n个零点重复了几次算几重。但是，假设把情况改变一下，由1元变成 n元，复数域变成任意基域K，现要讨论由m个n元方程构成的方程组在K内的公共零点的情况，容易发现，情况要比1元时复杂得多
2、，此时，用相同的方法已无济于事，必须创造新的方法，融入新的思想。正是这样的内在的开展要求，使得代数几何在20世纪发生了一场革命，即库恩意义上的范式的彻底改变。其中蕴涵的新的数学思想，不仅革新了代数几何本身，而且也革新了整个数学界的思考方式，给经典的数学家们在思想上带来了深深的震撼！ 重要性在20世纪数学史上，代数几何学Algebraic Geometry始终处于一个核心的地位，这从数学界的主要大奖之一，Fields奖菲尔兹奖的获得者情况即可看出，从1936年颁发首届Fields奖算起，到2002年在中国举行的国际数学家大会上颁发的第24届Fields奖为止，总共有45位40岁以下的青年数学家获
3、奖，其中大约有1/3的人，其获奖的工作或多或少与代数几何有一定的联系，这说明代数几何的研究是相当活泼的，一直是Dieudonne意义上的主流数学。为什么代数几何的研究会常盛不衰？因为在代数几何了有大量未解决的问题，而且这些难题涉及其他许多学科，正是这些难题和其他学科的刺激，使得代数几何充满了活力，充满了令人神往的创造的生长点。 开展史Dieudonne把代数几何学的历史分为七个时期： 前史prehistory，Ca.400BC-1630A.D， 探索阶段Exploration，1630-1795， 射影几何的黄金时代1795-1850， Riemann黎曼和双有理几何的时代1850- 1866
4、， 开展和混乱时期1866-1920， 涌现新结构和新思想的时期1920-1950， 最后的一个阶段，也就是代数几何史上最辉煌的时期，层sheaf和概型Scheme的时代1950-。 代数几何学的对象原来是欧氏平面中的代数曲线，即由多项式Px，y=0定义的轨迹，比方最简单的平面代数曲线直线和圆，古希腊时代就已经在研究圆锥曲线和一些简单的三次，四次代数曲线了。承前述可以看出，研究代数方程组的公共零点集离不开坐标表示，所以，真正意义上的研究还得从Descartes笛卡尔和Fermat费马创立几何图形的坐标表示开始说起，但这已经是17世纪的事情了。解析几何学对于代数曲线和曲面已经有相当完整的结果了，
5、从Newton牛顿开始已着手对三次代数曲线进行分类，共得出72类。 从这时起，分类问题便成为代数几何中的重要问题了，这些问题成为大量研究工作的推动力。但是，反过来，正是由于对三次的或四次的代数曲线进行的分类过于繁复，从而推动了解析几何学向代数几何学的过度，也就是在更加粗糙的水平上进行分类和进行一般的理论研究。 18世纪，AG代表代数几何，以下类同的根本问题是代数曲线或代数曲面的相交问题，相当于代数方程组中的消元问题，这个时期得到的根本成果是Bezout定理贝竹定理： 设X，Y是P2中两支不同的曲线，次数分别为d和e，令X#Y=P_1, P_2,.P_s是它们的交点, 在每个点处的相交数分别记为
6、 I(X,Y;P_j), 那么 I(X,Y;P_j)=de。 随着19世纪射影几何学的兴起，开始用射影几何方法来研究代数曲线，其中引进了无穷远点及虚点和用齐次多项式及射影坐标P X_0,X_1,X_2)=0来表示代数曲线，并且允许出现复坐标，1834年，德国数学家普吕克尔得出关于平面曲线的普吕克尔公式，这个公式把平面代数曲线的代数特征和几何特征联系起来了，如次数和拐点数等，特别是由此证明了一般三次代数曲线(即椭圆曲线)皆有9个拐点，1839年，他还发现四次曲线有28条二重切线，其中至多8条是实的。 上面就是前三个阶段代数几何学的一个概貌。 创始人黎曼Riemann是对现代数学影响最大的数学家之
7、一之一甚至可以去掉，其中就包括对代数几何的深刻影响，Dieudonne甚至称Riemann这个时期的函数论研究是整个代数几何历史中最重要的一步，Riemann是通过研究Abel阿贝尔函数论涉足代数几何的。他在研究复变函数时，提出了 Riemann Surface 黎曼曲面的概念 ，把Abel函数论和Riemann Surface的工作综合起来，Riemann把代数曲线作为Riemann Surface上的函数论来研究，并且引进第一个birational maps双有理 的不变量Genus(亏格)，只有在代数几何里才有 birational equivalence双有理等价概念，这就使得代数几何
8、比微分几何或者拓扑更加的rigid刚性 从而开辟了代数几何的新篇章。 通过genus，Riemann 有提出了Moduli模空间的概念，现在这个东西可是大热门，并且和他的学生Roch罗赫得出了代数几何学中的一条中心定理Riemann-Roch定理 l黎曼-赫定理，此定理是说：设X为亏格g的曲线，D为X上的除子那么有：LDLKD=degD+1g，K是一典范除子，以后对此定理的每一次推广都是代数几何中的一大进步，非常深刻的Atiyah-Singer指标定理 阿蒂亚-辛格指标定理是Riemann-Roch定理的颠峰，Atiyah-Singer指标定理横跨代数几何，拓扑，分析，偏微分方程，多复变函数论
9、等好几个核心数学领域，并且在物理学中Yang-Mills场论杨-米尔斯场论中得到了重要的应用，但是，指标定理的根基还是在代数几何里面。 诺特-的父亲那么用代数几何的观点来看待Riemann Surface，几何化的思想和强烈，而几乎同时，Dedkind戴德金和Weber开辟了以理想为根底代数方向，Kronecker那么开辟了以除子为根底的算术方向。这三个方向最后在Grothendieck那里会聚在一起，构成一个大一统的气势恢弘的抽象代数几何体系。 意大利学派从19世纪80年代末起，意大利的代数几何学派继承了M.Noether的几何思想，开始了代数曲面的研究，学派的主要代表人物是Castelnu
10、ovo，Enriques和Severi，他们主要是进行代数曲面的分类工作，与此同时法国数学家如Poincare庞加莱和Picard毕卡却在用超越方法研究代数曲面。承前可以看出，Riemann 以后的人都是在尽力继承和推广Riemann 的工作，可以说Riemann 的主要思想是所有人的根底，而Riemann光于曲面的最重要的思想都与复分析油光，所以，古典代数几何的一个大框架还是三维复射影空间CPn中的代数曲线和曲面。 随着数学的开展，人们对高维空间的需要越来越明显，所以，代数几何中对高维代数簇的研究已不可防止，而且意大利几何学派的代数几何不够严密，急需牢靠的理论根底来支撑其只管的思想，意大利几
11、何学派在分类代数曲面上已经走到了尽头，而在同时期，数学的另外一个分支，代数数论却涌现出了许多新的思想，出现迅猛开展的势态。经典代数数论是研究代数数域和它的代数整数环的代数和算术性质的，而高维代数簇是根本域K上代数方程组的解，比方一维代数簇就是K上的代数曲线，考虑代数簇上的整数点，这就成了数论问题，又根据德国F.Klein克莱因的Erlangen 纲领爱尔兰根纲领，几何学是研究某些数学对象在某个群作用不变量的理论，如果要寻找代数几何中的作用群的话，那么就代数簇之间的双有理变化群，所以，代数几何学的抽象化已经成了它继续向前开展的巨大动力和迫切需要。对其抽象化的工具也正在夜以继日的被锻造，抽象代数学
12、之母E.Noether及其学派开展了一整套强大的抽象工具，E.Noether的学生Van Der Waerden首先把抽象代数学引进代数几何里，接下来的一位重要人物是Zariski，他先是从师于意大利代数几何学派的Castelnuovo，但是对此学派工作的不严密性耿耿于怀，从而促使他立意改造古典的代数几何，先是在Lefchetz莱夫西兹的影响下用拓扑工具处理代数几何问题，但成效不大，后来了解到E.Noether及其学派的工作，大为振奋，遂集中精力运用代数方法重新改写古典的代数几何，?代数曲面?一书的完成标志着代数几何的抽象化真正开始了，也标志着代数几何研究进入了Zariski时代。 布尔巴基学
13、派从这时起，代数几何里开始人才辈出，并且法国的Bourbaki学派在以后代数几何学开展的光芒岁月里扮演了一个主要角色，Bourbaki学派的主要代表人物之一Weil用更加抽象的观点写了一部?代数几何根底?，Weil的本意是想用有限域上的代数几何学来解决代数数论的问题，却不料搞出了个Weil猜测不是Deligne证明的那个Weil conjecture，为了证明这个猜测就特意写了这部抽象的书，从此，代数几何又进入了Bourbaki时代。后来Serre塞尔评价那部书时说：这本三百页的巨著很难懂，而在20年后又被Grothendieck的更加难懂的?代数几何原理?所代替“这个?代数几何原理?就是江湖
14、上传说的EGA。 Weil在书中充分使用了E.Noether及其学派开展的交换代数理论和语言，提出了代数几何里的一些重要概念，是代数几何学开展中的一个里程碑。 所幸的是，书写出来后，先前那个猜测也被Weil证明了。这个事件意义重大，预示了以后的Bourbaki精神，为了抽象而抽象，而是有着具体的问题背景的，以此为出发点的抽象才是有意义的抽象，才有成效性，才能用来解决更加困难的问题。 抽象代数几何代数几何沿着Weil的道路进行着它的抽象化征程，其间，Kodaira小平邦彦用调和积分理论将Riemann-Roch定理由曲线推广到曲面，德国数学家Hirzebruch不久又用sheaf的语言和拓扑成果
15、把它推广到高维复流形上，J-P.Serre在sheaf的根底上定义了一般的代数簇，使得代数簇成为具有Zariski拓扑的拓扑空间，从而在代数几何里引入了日后起重要作用的上同调理论，不过，Serre在代数几何里最重要的奉献，我觉得是吸引Grothendieck到代数几何里来。 自从Grothendieck介入代数几何后，代数几何的面貌完全改观，尽管在代数几何里王者辈出，但是，大家心目中的教皇只有一个，那就是伟大的Grothendieck。 Grothendieck是法国数学家，Bourbaki成员，1928年生于德国柏林，由于第二次世界大战，致使他没有受到正规的大学阶段的数学训练。 1953年以前主要致力于泛函分析，创造了核空间，拓扑张量积等概念，这些概念现在在泛函分析里十分根本和重要，一系列深刻的泛函分析工作就足以使他跻身于数学界的巨人行列，但是，他的影响更为深远的工作是后来在代数几何上划时代的奉献，代数几何学经过Van Der Waerden，Zariski， Weil和Serre等人的推广，代数簇已经完全抽象化了，但是，代数簇最彻底的推广那么是Grothendieck在20世纪50年代末做出的，这就是他的抽象概型理论和强有力的上同调理论。仿射概型Affine Schemes是一个局部戴环空间X，Ox，而且它同构于作
