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1、湖南省长沙市南田坪乡联校2019-2020学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是A能被3整除的整数，一定能被6整除B不能被3整除的整数，一定不能被6整除C不能被6整除的整数，一定不能被3整除D不能被6整除的整数，不一定能被3整除参考答案：B2. 各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（ ）A BC D 或参考答案：B略3. 复数等于（ ）ABCD参考答案：C4. 正三棱柱的左视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为（）A4B1
2、2CD24参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积 【专题】空间位置关系与距离【分析】通过左视图，判断几何体的数据，然后求解侧面积【解答】解：正三棱柱的左视图为：，正三棱柱的底面是正三角形，由图知底面正三角形的高为，易求得正三角形的边长为2，正三棱柱的侧面积为：223=12故选：B【点评】本题考查三视图侧面积的求法，考查学生的视图能力以及计算能力5. 在等腰ABC中，BAC=90，AB=AC=2，则的值为（）ABCD参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算【分析】将所求利用三角形法则表示为AB，AC对应的向量表示，然后利用向量的乘法运算求值【解答】解：由已知得到=（）（）=2，ABC是等腰直角
3、三角形，BAC=90，AB=AC=2，所以上式=；故选：A6. 已知双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c（c0），抛物线y2=2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且AOB=120（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）AB2CD参考答案：A【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意，A（， c），代入双曲线方程，可得=1，由此可得双曲线的离心率【解答】解：由题意，A（， c），代入双曲线方程，可得=1，整理可得e48e2+4=0，e1，e=+1，故选A7. 复数(为虚数单位)等于 （ ）A B C D参考答案：C略8. 设i为虚数单位，则展开式中的第三项为（ ）A B
4、C D参考答案：D略9. “a0”是“函数f（x）=ax+lnx存在极值”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据函数极值和导数的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+），函数的导数f（x）=a+，若函数f（x）=ax+lnx存在极值，则f（x）=0有解，即a+=0，即a=，x0，a=0，则“a0”是“函数f（x）=ax+lnx存在极值”的必要不充分条件，故选：B10. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A
5、 B 5 C D 参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量,.若,则实数 _.参考答案：略12. 用直线和直线将区域分成若干块。现在用5种不同的颜色给这若干块染色，每块只染一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数的取值范围是；参考答案：13. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是. 参考答案：14. 命题“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是，它是命题（填“真”或“假”）参考答案：若a0且b0，则ab0,真命题。考点： 四种命题的真假关系专题： 规律型分析： 将原命题的条件、结论否定，并交换可得：“若ab=0
6、，则a=0或b=0”的逆否命题，根据命题的等价性，可知逆否命题为真解答： 解：将原命题的条件、结论否定，并交换可得：“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是若a0且b0，则ab0原命题若ab=0，则a=0或b=0”为真命题根据命题的等价性，可知逆否命题为真故答案为：若a0且b0，则ab0，真命题点评： 本题的考点是四种命题的真假关系，考查原命题的逆否命题，考查命题的真假判断，属于基础题15. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 . 参考答案：16. 在极坐标系中，定点A，点B在直线cos+
7、sin=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是 参考答案：【考点】IT：点到直线的距离公式；QH：参数方程化成普通方程【分析】在极坐标系中，直线cos+sin=0，化为x+y=0，线段AB最短，就是过A与x+y=0垂直的直线，和它的交点再换成极坐标【解答】解：直线cos+sin=0，化为x+y=0，与x+y=0垂直过A的直线方程为：y1=x，这两条直线的交点是所以B的极坐标是故答案为：【点评】本题是极坐标和直角坐标方程，极坐标和直角坐标的互化，容易出错17. 如图，在ABC中，D为边BC上一点，若AB=1，AC=2，则AD?BD的最大值为参考答案：【考点】相似三角形的性质【专题】计算题；选
8、作题；方程思想；解三角形【分析】设BD=a，求出AD，再利用基本不等式，即可求出AD?BD的最大值【解答】解：设BD=a，则DC=2a，cosB=，AD=，AD?BD=a?=，AD?BD的最大值为故答案为：【点评】本题考查余弦定理、基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在几何体ABC-A1B1C1中，平面底面ABC，四边形是正方形，Q是A1B的中点，（I）求证：平面（）求二面角的余弦值.参考答案：（1）详见解析；（2）.【分析】（1）连接，交于点，连接，则四边形是正方形，点是的中点，推导出四边
9、形是平行四边形，从而，由此能证明平面（2）以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值【详解】证明：（1）如图所示，连接，交于点，连接因为四边形是正方形，所以点是的中点，又已知点是的中点，所以，且，又因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，故，因平面，平面，故平面（2）如图所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以，设平面的法向量为，则 即，取，则平面的一个法向量，所以故二面角的平面角的余弦值为【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法
10、的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.19. 一动圆与圆内切，与圆外切（1）求动圆圆心M的轨迹L的方程；（2）设过圆心F2的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A，B两点，请问ABF1的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由参考答案：【考点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定【分析】（1）利用圆内切，与圆外切，可得|MF1|+MF2|=4，由椭圆定义知M在以F1，F2为焦点的椭圆上，从而可得动圆圆心M的轨迹L的
11、方程；（2）表示出三角形的面积，利用换元法，结合函数的单调性，求得最值，即可求得结论【解答】解：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，由题意，得|MF1|=R+1，|MF2|=3R，所以|MF1|+MF2|=4，由椭圆定义知M在以F1，F2为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，b2=a2c2=41=3动圆圆心M的轨迹L的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（y10，y20），则，由，得（3m2+4）y2+6my9=0，令，则t1，且m2=t21，有，在1，+）递增，此时t=1，m=0，存在直线l：x=1，ABF1的面积最大值为320. 已知,函数.（）当时，求曲线在点处的切线的斜率
12、；（）讨论函数的单调性；（）是否存在的值，使得方程有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案：略21. 已知（I）当a=2时，求曲线在点处的切线方程；（II）在处有极值，求的单调递增区间；（III）是否存在实数a，使在区间的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.参考答案：略22. （本小题满分14分）设O为坐标原点，点P的坐标(x2，xy)。(1) 在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；(2) 若利用计算机随机在0,3上先后取两个
13、数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率。参考答案：解： (1)记抽到的卡片标号为(x，y)，所有的情况分别如下表：(x，y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x2，x-y(-1,0)(-1,-1)(-1,-2)(0,1)(0,0)(0,-1)(1,2)(1,1)(1,0)11011 （3分）其中基本事件是总数为9，随机事件A“|OP|取最大值”包含2个基本事件，故所求的概率为P(A). （6分）(2)设事件B为“P点在第一象限”若 则其所表示的区域面积为339. （8分）由题意可得事件B满足即如图所示的阴影部分，其区域面积为1311. （12分）P(B). （14分）
