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1、湖南省衡阳市 衡山县贺家中学2019年高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）A垂心 B内心 C外心 D重心 参考答案：C略2. 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）ABCD参考答案：C解： 故选3. 如果执行如图所示的框图，输入，则输出的数等于（ ）ABCD参考答案：A4. 已知函数, 则下列结论正确的是 ( ) A是偶函数 B. 是增函数 C的值域为1，) D. 是周期
2、函数参考答案：C略5. 集合A=x，B=，则=( )A0B1C0，1D-1，0，1参考答案：B6. 函数y=（x1且x3）的值域为（）A，+）B1，0）（0，+）C1，+）D（，1（0，+）参考答案：D【考点】二次函数的性质；函数的值域【分析】结合二次函数的图象和性质，分析出分母的取值范围，进而可得函数y=（x1且x3）的值域【解答】解：x24x+31，当x1且x3时，x24x+30，故x24x+31，0）（0，+），故函数y=（x1且x3）的值域为（，1（0，+），故选：D【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的值域，难度中档7. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f（x），
3、且函数f（x）在x=2处取得极小值，则函数y=xf（x）的图象可能是（）ABCD参考答案：C略8. 曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为( )A（0，0）B（2，4）C（，）D（，）参考答案：D考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求出原函数的导函数，得到函数在P点处的导数，由导数值等于1求得P的横坐标，则答案可求解答：解：y=x2，y=2x，设P（x0，y0），则，又曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为，2x0=1，点P的坐标为（，）故选：D点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，过曲线上的某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值
4、，是基础题9. 设，则下列不等式中恒成立的是A. B.C. D.参考答案：C对于A，B，根据反比例函数的性质可知：，所以A，B都不对.对于C，所以选项C正确；对于D，取反例：.10. “lgx1g y”是“”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，PD=，OAP=30，则CP= 参考答案：a【考点】与圆有关的比例线段【专题】直线与圆【分析】先由垂径定理可得直角三角形PAO，从而用a表示BP，再利用圆中线段相交弦关系得关于
5、CP的等式，即可求得CP【解答】解：因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OPAB在RtOPA中，由相交弦定理知，BP?AP=CP?DP，即，所以故填：【点评】此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理及垂径定理的综合应用，本题还考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理，属于基础题12. 坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 .参考答案：略13. 的展开式中的常数项为_参考答案：略14. 如果，那么的取值范围是 参考答案：15. 参考答案：16. 设实数满足不等式组，则的最大值是 参考答案：1417. 一个几何体的三视图为如图所示的三个直角三角形，则该几何体表面的直角三角形的
6、个数为 个参考答案：4【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可得：原几何体为三棱锥PABC：PA平面ABC，BC平面PAC即可得出答案【解答】解：由三视图可得：原几何体为三棱锥PABC：PA平面ABC，BC平面PAC因此表面4个三角形都为直角三角形故答案为：4三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 选修44；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）（1）求点A，B，C，
7、D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围参考答案：【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化【专题】综合题；压轴题【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2sin
8、20，1t32，52【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题19. 已知函数的反函数为，各项均为正数的两个数列满足：，其中为数列的前项和，。（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，且，试比较与的大小。参考答案：解：（1）由，得 由，得 当时，得 当时， ，0 （2） 20. 如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=2E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直
9、的判定【分析】（）证明平面EAC平面PBC，只需证明AC平面PBC，即证ACPC，ACBC；（）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，1，0），面EAC的法向量=（a，a，2），利用二面角PA CE的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，2，2），=（1，1，2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值【解答】（）证明：PC平面ABCD，AC?平面ABCD，ACPC，AB=2，AD=CD=1，AC=BC=，AC2+BC2=AB2，ACBC，又BCPC=C，AC平面PBC，AC?平面EAC，平面EAC平面PBC（）如图，以C为原点，取AB中点F，、分别
10、为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，1，0）设P（0，0，a）（a0），则E（，），=（1，1，0），=（0，0，a），=（，），取=（1，1，0），则?=?=0，为面PAC的法向量设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则?=?=0，即取x=a，y=a，z=2，则=（a，a，2），依题意，|cos，|=，则a=2于是=（2，2，2），=（1，1，2）设直线PA与平面EAC所成角为，则sin=|cos，|=，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为21. 已知二次函数f（x）=ax24bx+2（）任取a1，2，3，b1，1，2，3，4，记“f（
11、x）在区间1，+）上是增函数”为事件A，求A发生的概率；（）任取（a，b）（a，b）|a+4b60，a0，b0，记“关于x的方程f（x）=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；几何概型【分析】（）因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有35=15个，函数f（x）的图象关于直线x=对称，若事件A发生，则a0且1，由此利用列举法能求出A发生的概率（）集合（a，b）|a+4b60，a0，b0对应的平面区域为RtAOB，由此利用几何概型能求出B 发生的概率【解答】解：（）因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3
12、5=15个因为函数f（x）的图象关于直线x=对称，若事件A发生，则a0且1数对（a，b）的取值为（1，1），（2，1），（2，1），（3，1），（3，1）共5种所以P（A）=（）集合（a，b）|a+4b60，a0，b0对应的平面区域为RtAOB，如图其中点A（6，0），B（0，），则AOB的面积为6=若事件B发生，则f（1）0，即a4b+20所以事件B对应的平面区域为BCD由，得交点坐标为D（2，1）又C（0，），则BCD的面积为（）2=1所以P（B）=【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用22. （本小题满分12分）设命题； 命题是方程的两个实根，且不等式对任意的实数恒成立，若pq为真，试求实数m的取值范围.参考答案：解：对命题又故 对命题对有 若为真，则假真
