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1、北京第一七八中学2020年高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A20B30C40D50参考答案：B【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30故选：B2. 下列等式正确的是A. B. C. D. 参考答案：D3. 设集合A=,B=,则AB=( ) A. B. C. D. 参考答案：D略4. 在
2、中，则等于 （A） （B） （C）或 （D）或参考答案：C略5. 过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（）A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在参考答案：B【考点】抛物线的简单性质【分析】过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，先看直线AB斜率不存在时，求得横坐标之和等于2，不符合题意；进而设直线AB为y=k（x1）与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出A、B两点的横坐标之和，进而求得k得出结论【解答】解：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标
3、之和等于2，不适合故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x1）代入抛物线y2=4x得，k2x22（k2+2）x+k2=0A、B两点的横坐标之和等于3，=3，解得：k2=4则这样的直线有且仅有两条，故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的应用解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况，以免遗漏6. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图像所表示的函数是（ ）A B C D 参考答案：C7. 九章算术是我国古代的数学名著，书中均输章 有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人 等，文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙
4、、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与 丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得 多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，丙所得为 A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 1钱 参考答案：D8. 点F为双曲线C：=1（a，b0）的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B若3+=0，则双曲线C的离心率是（）ABCD参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】联立直线方程解得A，B的坐标，再由向量共线的坐标表示，解得双曲线的a，b，c和离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线C：=1的渐近线方程为y=x
5、，设F（c，0），由OAFA，且OA的方程为y=x，OB的方程为y=x，直线AB的方程为y=（xc），由解得A（，），由解得B（，）由3+=0，即3+=，即3（c，）+（c，）=0可得3（c）+c=0，即3a2+=4c2，由b2=c2a2，化简可得3a45a2c2+2c4=0，即（a2c2）（3a22c2）=0，即a2=c2，（舍）或3a2=2c2，即c2=a2，c=a=a，可得e=故选：B9. 已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ） A、 B、 C、 D、1 参考答案：A10. 设m，n是两条不同的直线，是
6、两个不同的平面，p：，若p是q的必要条件，则q可能是（ ）A. q：，B. q：，C. q：，D. q：，参考答案：B【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质判断即可.【详解】由题知能推出：.对A, 当时仍然可以有,.故A错误.对B, ,则,又,则.故B正确.对C, ,则,又,故.故C错误.对D,当且相交于时,若也满足,.故D错误.故选：B【点睛】本题主要考查了空间中线面平行与垂直的判定与性质,属于基础题型.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设集合A=（m1，m2，m3）|m22，0，2，mi=1，2，3，集合A中所有元素的个数为；集合A 中满足条件“2|m1|+|m2|
7、+|m3|5”的元素个数为参考答案：27,18.【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断【专题】集合；排列组合【分析】根据集合A知道m1，m2，m3各有3种取值方法，从而构成集合A的元素个数为27个，而对于2|m1|+|m2|+|m3|5可分为这样几种情况：|m1|+|m2|+|m3|=2，或|m1|+|m2|+|m3|=4，求出每种情况下构成集合A的元素个数再相加即可【解答】解：m1从集合2，0，2）中任选一个，有3种选法，m2，m3都有3种选法；构成集合A的元素有333=27种情况；即集合A元素个数为27；对于2|m1|+|m2|+|m3|5分以下几种情况：|m1|+|m2|+|m3|=
8、2，即此时集合A的元素含有一个2，或2，两个0，2或2从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有32=6种；|m1|+|m2|+|m3|=4，即此时集合A含有两个2，或2，一个0；或者一个2，一个2，一个0；当是两个2或2，一个0时，从三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或2，这种情况有32=6种；当是一个2，一个2，一个0时，对这三个数全排列即得到321=6种；集合A 中满足条件“2|m1|+|m2|+|m3|5”的元素个数为6+6+6=18故答案为：27，18【点评】考查描述法表示集合，分步计数原理及排列内容的应用，以及分类讨论思想的应用12. 一个社会调查机构就某地居
9、民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，在从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2500，3500元/月）收入段应抽出 人。 参考答案：4013. 设定点A(3,0),动点P的坐标满足约束条件,则(O为坐标原点)的最大值为_.参考答案：414. 在中，是的外心，若，则.参考答案：15. 过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .参考答案：不妨设F为左焦点，过F作渐近线的垂线，垂足为M,若垂足恰在线段OF(O为原
10、点)的垂直平分线上，则说明直角三角形FMO为等腰直角三角形，所以渐近线的的斜率为1，即，所以，所以双曲线的离心率为。16. 在平面直角坐标系中，过定点的直线与曲线交于点，则 参考答案：4因为相当于对函数的图象进行向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，所以曲线的图象关于点成中心对称，可知是线段的中点，故17. 设集合P=x|（3t210t+6）dt=0，x0，则集合P的非空子集个数是 参考答案：3考点：定积分；子集与真子集 专题：导数的概念及应用分析：根据积分公式，求出集合P，即可得到结论解答：解：（3t210t+6）dt=（t35t2t+6t）|=x35x2+6x=0，即x（x25x+6）
11、=0，解得x=0（舍去）或x=2或x=3，即集合P=2，3集合P的非空子集为2，3，2，3故答案为：3点评：本题主要考查积分的计算依据集合子集个数的判断，比较基础三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设函数（1）求的单调区间；（2）当0a2时，求函数在区间上的最小值参考答案：解：（I）定义域为 2分 令，则，所以或 4分 因为定义域为，所以 令，则，所以6分因为定义域为，所以 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 7分（II）（） 8 分 因为0a2，所以，令可得所以函数在上为减函数，在上为增函数10分 当，即时，在区间上，在上为减函数，在上
12、为增函数11分所以 12 分 当，即时，在区间上为减函数 所以13分 综上所述，当时，；当时， 14分略19. (本小题满分12分） 设数列是等差数列, 且成等比数列。(1).求数列的通项公式(2).设，求前n项和Sn 参考答案：（1）设等差数列的公差为，又则，又，,成等比数列. ，即,解得或， 4分又时，与，成等比数列矛盾，即. 6分（2）因为， 8分. 12分20. 设，两个函数，的图像关于直线对称.（1）求实数满足的关系式；（2）当取何值时，函数有且只有一个零点；（3）当时，在上解不等式参考答案：解：（1）设是函数图像上任一点，则它关于直线对称的点在函数的图像上，.（2）当时，函数有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线对称，两个函数图像的交点就是函数，的图像与直线的切点.设切点为，,当时，函数有且只有一个零点；（3）当=1时，设 ，则，当时，当时，在上是减函数.又0，不等式解集是略21. 椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率参考答案：（）由已知，又，解得，所以椭圆的方程为；4分() 根据题意，过点满足题意的直
