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1、福建省南平市元坑中学2019-2020学年高二数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆的离心率为e，点（1，e）是圆x2+y24x4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（）A3x+2y4=0B4x+6y7=0C3x2y2=0D4x6y1=0参考答案：B【考点】直线的一般式方程；椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】求出椭圆的离心率，然后求出（1，e）圆心的斜率，即可得到弦的斜率，求出直线方程【解答】解：椭圆的离心率为：，圆的圆心坐标（2，2），所以弦的斜率为： =，所以过点（1，）的一
2、条弦的中点，则此弦所在直线的方程是y=（x1）即：4x+6y7=0故选B【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，求出弦的中点与圆心的连线的斜率是解题的关键2. 已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a的值是（）A4B2C2D4参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值【分析】可求导数得到f（x）=3x212，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值【解答】解：f（x）=3x212；x2时，f（x）0，2x2时，f（x）0，x2时，f（x）0；x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；a=2故选：C【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断
3、函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象3. 已知向量，且，那么实数等于( )A3 B C9 D参考答案：D4. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D. 参考答案：B5. 抛物线y=8x2的准线方程是（）Ay=By=2Cx=Dy=2参考答案：A【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，p=抛物线方程开口向下，准线方程是y=，故选：A【点评】本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置6. 函数的一个单调递增区间为 ( )A
4、 B C D参考答案：D7. 用反证法证明命题：“若，那么，中至少有一个不小于”时，反设正确的是（ ）A.假设，至多有两个小于 B.假设，至多有一个小于C.假设，都不小于 D.假设，都小于参考答案：D略8. 幂函数图像过点，则= ( )A. B.2 C. D.1参考答案：B略9. 给定函数y=；y=(x+1)；y=2x-1；y=x+；其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A. B. C. D. 参考答案：D10. 设函数 的定义域A，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则AB=A. （1,2）B. （1,2C. （-2,1）D. -2,1)参考答案：D由得，由得，故，选D.【名师点
5、睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则_参考答案：112. 曲线y=5ex+3在点（0，2）处的切线方程为参考答案：5x+y+2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可【解答】解：y=5ex，y|x=0=5因此所求的切线方程为：y+2=5x，即5x+y+2=0故答案为：5x+y+2=013. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种。（用数字作答）参考答案
6、：36种略14. 设函数，若，则 参考答案：15. 若直线 与直线垂直，则_.参考答案：16. 已知命题，则： 参考答案：，17. 若正数、满足，则的最小值为 .参考答案：25三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设.（1）若广告商要求包装盒侧面积最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积最大，试问x应取何值？
7、并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。参考答案：(1) .(2) 当时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.分析】设包装盒的高为，底面边长为，（1）中，求得，根据二次函数的性质，即可求解.（2）中，求得容积，利用导数求解函数的单调性与最值，即可求解.【详解】设包装盒的高为，底面边长为.由已知得，.（1），所以当时，取得最大值.（2）由题意，可得，则.由得（舍去）或.当时，单调递增；当时，单调递减.所以当时，取得极大值，也是最大值，此时.即当时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为.【点睛】本题主要考查了导数的实际应用，其中解答中认真审题，设出变量，列出函数的解析式
8、，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19. （本小题满分13分）已知命题：在上是增函数；命题函数存在极大值和极小值。求使命题“且”为真命题的的取值范围。参考答案：解: 在上是增函数，则在上恒成立，3分在时上恒成立，4分而5分故6分存在极大值与极小值，有两个不等的实根， 8分，9分或. 11分要使命题“p且q”为真，则当且仅当p与q均为真命题，q为真命题时，12分只需,故m的取值范围为-3，1.略20. 已知函数f（x）=ax+xlnx（aR）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间（2）当a=1且kZ时，不等式k（x1）f（x）在x（
9、1，+）上恒成立，求k的最大值参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为k对任意x1恒成立，令g（x）=，根据函数的单调性求出k的最大值即可【解答】解：（1）a=2，f（x）=2x+xlnx，定义域为（0，+），f（x）=3+lnx，由f（x）0得到xe3，由f（x）0得到xe3，函数f（x）=2x+xlnx的增区间为（e3，+），减区间为（0，e3）（2）当x1时，x10，故不等式k（x1）f（x）?k，即k对任意x1恒成立令g（x）=，则g（x）=，令h（x）=
10、xlnx2（x1），则h（x）=1=0?h（x）在（1，+）上单增h（3）=1ln30，h（4）=2ln40，存在x0（3，4）使h（x0）=0，即当1xx0时，h（x）0，即g（x）0，当xx0时，h（x）0，即g（x）0，g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+）上单增令h（x0）=x0lnx02=0，即lnx0=x02，g（x）min=g（x0）=x0（3，4），kg（x）min=x0且kZ，即kmax=321. 已知函数（1）求函数的极值；（2）当时，求的最值参考答案：解：（1）-1分令=0得-2分x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)00f(x)单调递增16单调递减-1
11、6单调递增-6分所以极大值为，极小值为-8分（2）由（1）知，又所以最大值为，最小值为-略22. 已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=（I）求椭圆E的方程；（）是否存在m，使+=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）设椭圆的方程为+=1（ab0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（）运用向量的加减运算，可得=3，由题意可得P（0，m），且2m2，设A（x1，y1），B（
12、x2，y2），运用向量共线的坐标表示和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得m2=1+，再由不等式的性质，可得所求范围【解答】解：（I）设椭圆的方程为+=1（ab0），由题意可得e=，4=4，a2b2=c2，解得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+x2=1；（）=，可得=（），+=（1+），由+=4，可得=3，由题意可得P（0，m），且2m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由=3，可得x1=3x2，由直线y=kx+m代入椭圆方程y2+4x2=4，可得（4+k2）x2+2kmx+m24=0，即有x1+x2=，x1x2=，由可得m2=1+，由1+k21，可得03，即有1m24，由于m（2，2），当m=0时，O，P重合，=1显然成立可得m的取值范围是（2，1）（1，2）0
