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1、辽宁省抚顺市新宾满族自治县体育中学2018年高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是函数的零点，则 ； 其中正确的命题是（ ） （A） （B） （C） （D）参考答案：A【知识点】零点与方程因为，正确；，在总是小于0，是减函数，由得，。故答案为：A2. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为2，当x（0，1时，f（x）=1x，则函数f（x）在0，2017上的零点个数是（）A1008B1009C2017D2018参考答案：B【考点】函数零点的判定定理【分析】根据函数零点存在定理和函数的奇偶性和
2、周期性即可求出答案【解答】解：当f（x）=0时，x=1，此时有一个零点，f（x）周期为2，f（x+2）=f（x），x=3，5，7，9均是函数的零点，x0，2017，零点的个数为=1009，故选：B3. 某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（）A4320B2400C2160D1320参考答案：D【考点】计数原理的应用【专题】排列组合【分析】依题意，分（1，1，1，3）；（1，1，2，2）两组，先分组，后排列，最后求和即可【解答】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接
3、法，有?=388，第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（）?=932根据分类计数原理，可得388+932=1320种，故选D【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题4. 正方体ABCDA1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )ABCD参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图 【专题】规律型【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C故选：C【点
4、评】本题主要考查空间三视图的识别，利用空间几何体的直观图是解决本题的关键比较基础5. 已知函数，若存在正实数，使得方程在区间（1，+）上有三个互不相等的实数根，则的取值范围是 A B C D 参考答案：D6. 已知的值为 （ ） A2 B C2D参考答案：B7. 已知变量，满足则的取值范围是（ ）ABCD 参考答案：B由约束条件作出可行域如图所示：联立，解得，即；联立，解得，即.的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率.，的取值范围是故选B.8. 等差数列中的是函数的极值点,则（ ）A5 B4 C3 D2参考答案：D9. 已知集合M=x|x|1，N=x|x0，则MN为( )A（1，1）B（0
5、，1）C（0，）D?参考答案：B考点：交集及其运算 专题：集合分析：解绝对值不等式求得M、解对数不等式求得N，再根据两个集合的并集的定义求得MN解答：解：集合M=x|x|1=x|1x1，N=x|x0=x|0x1，MN=（0，1），故选：B点评：本题主要考查绝对值不等式、对数不等式的解法，两个集合的并集的定义和求法，属于基础题10. 已知函数的导数为，且满足关系式，则的值等于（ ）A B2 C D参考答案：C试题分析：因为，所以，所以，解之得故应选C考点：导数的概念及其计算二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，则在方向上的投影是_参考答案：3【分析】求出，以及，再利
6、用向量投影的公式即可得到答案。【详解】由题可得：，；在方向上的投影是：故答案为：3【点睛】本题考查向量投影的定义以及计算，熟练掌握向量投影的公式是关键，属于基础题。12. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22， 被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，若按此规律继续下去，(1) _；(2) 若，则 参考答案：35； 9.13. 已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不
7、等式f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数c的值为_参考答案：914. (坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_.参考答案：；曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.15. 若数列为等差数列,为其前n项和,且,则_.参考答案：27；16. 已知函数（其中e为自然对数的底数）存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是_。参考答案：.【分析】根据题意将函数的极值点问题转化为与的交点个数问题，画出函数的图像，根据函数图像得到结果即可.【详解】由题意得，当且时,令，令，则；令
8、，易知在上单调递增，且，在和上单调递减，在上单调递增，又当时，；当时，可画出函数图像：根据图像性质可得到：当与函数只有一个交点时，或。当时，则，易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，无极值点，不合题意，舍去。综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的极值问题，以及导数在研究函数的极值问题中的应用，将函数极值点转化为导函数的变号零点问题，函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程
9、解的存在情况，求参数的值或取值范围问题17. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面 积是_参考答案：24由VSh，得S4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为R.所以球的表面积为S4R224.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC，底面ABC是边长为的等边三角形，侧面是菱形，E、F分别是、AB的中点求证：（1）；（2）求三棱锥的体积.参考答案：证明：（1） 在平面内，作，O为垂足因为，所以，即O为AC的中点，所以.因而因为侧面底面
10、ABC，交线为AC，所以底面ABC所以底面ABC. （2）F到平面的距离等于B点到平面距离BO的一半，而BO=. 所以. 略19. 已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个极值点,且，求a取值范围（其中e为自然对数的底数）参考答案：(1) 单调递增区间为和，单调递减区间为 ；(2)试题分析：（1）求导，利用导数的符号确定函数的单调区间；（2）求导，利用导函数，将函数存在极值问题转化为导函数对应方程的根的分布情况进行求解.试题解析：（1）的定义域为，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）因为，令若有两个极值点，则方程g(x)=0有两个不等的正根，所以,即 (舍)或时，且，又，于是，
11、 . ，则恒成立，在单调递减，即，故的取值范围为20. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=DC=DD1，过A1、B、C1三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCDA1C1D1，E、F分别为A1B、BC1的中点（）求证：EF平面ABCD；（）求平面A1BC1与平面ABCD的夹角的余弦值参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）由三角形中位线定理得EFA1C1，由平行公理得EFAC，由此能证明EF平面ABCD（）以D为坐标轴原点，以DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABCD的
12、一个法向量和平面A1BC1的一个法向量，由此利用向量法能求出平面A1BC1与平面ABCD的夹角的余弦值【解答】（本小题满分12分）（）证明：在A1BC1中，E、F分别为A1B、BC1的中点，EFA1C1，在ABCDA1B1C1D1中，ACA1C1，EFAC，EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，EF平面ABCD（）解：以D为坐标轴原点，以DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AD=DC=1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），D1（0，0，2），A1（1，0，2），DD1平面ABCD，平面ABCD的一个法向量为=（0，0，2），设平面A1BC1
13、的一个法向量为=（a，b，c），则，即，取a=1，得=（1，1，），cos=|cos|=|=平面A1BC1与平面ABCD的夹角的余弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面的夹角的余弦值的求法，涉及到三角形中位线定理、平行公理、向量法等知识点，是中档题21. （本小题满分13分） 已知点，直线AG，BG相交于点G，且它们的斜率之积是（）求点G的轨迹的方程；（）圆上有一个动点P，且P在x轴的上方，点，直线PA交（）中的轨迹于D，连接PB，CD设直线PB，CD的斜率存在且分别为，若，求实数的取值范围参考答案：22. （本小题满分13分）已知向量，与共线（）求的值；（）求函数在区间上的最大值和最小值参考答案：（），又 5分（） 9分，当时，当时， 13分
