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1、广东省茂名市水东实验中学2018年高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设O为坐标原点，动点满足，则的最小值是 A B C D参考答案：D2. 将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点原点中对称，则向量的坐标可能为（ ） A B C D参考答案：D3. 已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】构造函数，利用导数判断函数在上的单调性，可得出与的大小关系，经过化简可得出正确选项.【详解】构造函数，则，当时，.所以，函数在上单调递增，即，即，故选：
2、A.【点睛】本题考查函数单调性的应用，根据导数不等式的结构构造新函数求解是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4. 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x4）=f（x），且在（0，2上单调递增，则（）Af（25）f（19）f（40）Bf （40）f（19）f（25）Cf（19）f（40）f（25）Df（25）f（40）f（19）参考答案：D【考点】函数奇偶性的性质【分析】由奇函数得到f（x）=f（x），f（0）=0，由f（x4）=f（x），得到函数f（x）的周期为8，再由定义在R上的奇函数f（x）在（0，2上单调递增，得到函数f（x）在2，2上单调递增，即可得到答案【解答】解
3、：f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=f（x），f（0）=0，f（x4）=f（x），f（x+4）=f（x），f（x+8）=f（x），函数f（x）的周期为8，f（25）=f（1），f（40）=f（0），f（19）=f（3）=f（1）定义在R上的奇函数f（x）在（0，2上单调递增，函数f（x）在2，2上单调递增，f（1）f（0）f（1），f（25）f（40）f（19）故选：D5. 设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t）处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）ABCD参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先对函数f（x）进行求导运算，根据在点（t，
4、f（t）处切线的斜率为在点（t，f（t）处的导数值，可得答案【解答】解：f（x）=xsinx+cosxf（x）=（xsinx）+（cosx）=x（sinx）+（x）sinx+（cosx）=xcosx+sinxsinx=xcosxk=g（t）=tcost根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x0时g（t）0故选B6. 已知命题，则ABCD参考答案：A略7. f（x）=sinx+cosx，xR，f（）=2，f（）=0，|的最小值为，则正数=( )ABCD参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象 【专题】三角函数的求值【分析】由题意可得，|的最小值为=，由此求得正数的值
5、【解答】解：f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），xR，f（）=2，f（）=0，故|的最小值为=，则正数=，故选：B【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象特征，属于基础题8. 如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图为一个半径为3的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ） . . . 参考答案：9. 直线有两个不同交点的一个充分不必要条件是 A B C D参考答案：C10. 已知，且sin0，则tan的值为（）ABCD参考答案：考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的求值分析：利用二倍角公式求得cos ，再根据同角三角函数的基本关系求
6、得sin，从而求得tan的值解答：解：已知，且sin0，cos =21=21=，故sin=，tan=，故选C点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q(qN*)的函数关系式为C=100+4q，销售单价p与产量q的函数关系式为要使每件产品的平均利润最大，则产量q等于_参考答案：【知识点】基本不等式 E1【答案解析】40 解析：解：销售收入利润每件产品的平均利润因为所以当且仅当时每件产品的平均利润最大，所以答案为40【思路点拨】表示出销售收入、利润、每件产品
7、的平均利润，利用基本不等式即可求得最大值及产量值.12. 关于平面向量，有下列三个命题：若，则.若，则k3.非零向量和满足，则与的夹角为60.其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)参考答案：略13. .的展开式中，x4项的系数为_（用数字作答）参考答案：的展开式的通项公式为，令，解得，所以，项的系数为14. 如图，在半径为2的扇形中，为弧上的一点，若，则的值为 参考答案： 15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数_的图象.参考答案：略16. 已知不等式的解集不是空集,则实数a的取值范围是；若不等式对任意实数a恒成立，则实数x的取值范围是 .参考答案：的最小值为，则要使不等式的解集不是
8、空集，则有化简不等式有 ，即而当时满足题意，解得或所以答案为17. 四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB2，BCCD1，BCD60，AB平面BCD，则球O的表面积为 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设a为实数，函数f（x）=ex2x+2a，xR（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当aln21且x0时，exx22ax+1参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】计算题；压轴题【分析】（1）由f（x）=ex2x+2a，xR，知f（x）=ex2，xR令f（x）=0，得x=ln2
9、列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值（2）设g（x）=exx2+2ax1，xR，于是g（x）=ex2x+2a，xR由（1）知当aln21时，g（x）最小值为g（ln2）=2（1ln2+a）0于是对任意xR，都有g（x）0，所以g（x）在R内单调递增由此能够证明exx22ax+1【解答】（1）解：f（x）=ex2x+2a，xR，f（x）=ex2，xR令f（x）=0，得x=ln2于是当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，ln2）ln2（ln2，+）f（x）0+f（x）单调递减2（1ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（，ln2），单调递增区间是（ln2，+），f（x
10、）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln22ln2+2a=2（1ln2+a），无极大值（2）证明：设g（x）=exx2+2ax1，xR，于是g（x）=ex2x+2a，xR由（1）知当aln21时，g（x）最小值为g（ln2）=2（1ln2+a）0于是对任意xR，都有g（x）0，所以g（x）在R内单调递增于是当aln21时，对任意x（0，+），都有g（x）g（0）而g（0）=0，从而对任意x（0，+），g（x）0即exx2+2ax10，故exx22ax+1【点评】本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应
11、用解题时要认真审题，仔细解答19. 三棱锥中，侧面底面,是等腰直角三角形的斜边，且.（1）求证：；（2）已知平面平面，平面平面，且到平面的距离相等，试确定直线l及点D的位置（说明作法及理由），并求三棱锥的体积.参考答案：（）法一:在内作，交于，连结，则由侧面底面， 得底面又，为等腰直角三角形，又=,即法二:取中点，连结,由侧面底面得,由已知,，又=,即（）法一:平面平面,平面平面,平面平面到平面的距离相等/平面或中点在平面上又平面,平面平面/或中点在上,或为平行四边形,即.所以,过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l,以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点(或在l上到A距离为
12、2的点即为点)其中法二:到平面的距离相等平面平面，平面平面，平面平面CD/AB或CD中点在AB上,ABCD或ACBD为平行四边形,即AD=BC=2.所以,过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l,以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点D (或在l上到A距离为2的点即为点D)20. （本小题满分12分）已知长方形ABCD，BC=1。以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.（）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；（）过点P（0，2）的直线交（）中椭圆于M，N两点，是否存在直线，使得弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。参考答案：解：（）由题意可得点A，B，C的坐标分别为.设椭圆的标准方程是则2分.椭圆的标准方程是. 4分（）由题意直线的斜率存在，可设直线的方程为.5分设M，N两点的坐标分别为.联立方程：消去整理得，有 7分若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以，8分所以，即所以，即， 9分得. 10分所以直线的方程为，或.11分所在存在过P（0，2）的直线：使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。12分21. 坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已知直线l的参数方程为（t为参数）曲线C的极坐标方程为8cos （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设直线
