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1、天津美术学院中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，集合，则（ ）A. (0,3)B. (1,3)C. (0,4)D.(,3) 参考答案：A【分析】先求出集合，集合，由此能求出【详解】解：集合，集合，故选：A【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题2. 函数的图象大致是参考答案：B3. 设的最大值为A 2 B C 1 D 参考答案：C解析：因为，4. 已知集合，则 参考答案：D5. 已知条件；条件 若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围
2、是（ ） A B C D参考答案：C，记，依题意，或解得.选C.6. 如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记，截面下面部分的体积为，则函数的图像大致为 （ ）参考答案：A略7. 下列命题错误的是( )A命题“若x21，则1x1”的逆否命题是若x1或x1，则x21B“am2bm2”是”ab”的充分不必要条件C命题p：存在x0R，使得x02+x0+10，则p：任意xR，都有x2+x+10D命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用 【专题】简易逻辑【分析】对于A，写出逆
3、否命题，比照后可判断真假；对于B，利用必要不充分条件的定义判断即可；对于C，写出原命题的否定形式，判断即可对于D，根据复合命题真值表判断即可；【解答】解：命题“若x21，则1x1”的逆否命题是若x1或x1，则x21，故A正确；“am2bm2”?”ab”为真，但”ab”?“am2bm2”为假（当m=0时不成立），故“am2bm2”是”ab”的充分不必要条件，故B正确；命题p：存在x0R，使得x02+x0+10，则p：任意xR，都有x2+x+10，故C正确；命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”中至少有一个是真命题，故D错误，故选：D【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查充分条件、必要
4、条件的判定及复合命题的真假判定8. 已知椭圆方程，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为A.B.C.2D.3参考答案：C略9. 如下图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为 参考答案：10. 设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）A-1 B-2 C1 D2参考答案：A试题分析：当时，.考点：分段函数图象与性质.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对任意的实数b，直线yxb都不是曲线yx33ax的切线，则实数的取值范围是_ 参考答案：(, )12. 函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数例如：函数是单函数给出下列命题：函数是单函数；指
5、数函数是单函数；若为单函数，且，则；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数,其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）参考答案：当时，故错；为单调增函数，故正确；而显然正确.13. 已知平行四边形中, 则 参考答案：考点：向量的几何形式的运算及数量积公式的综合运用【易错点晴】平面向量的几何形式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查向量的几何形式的运算和数量积公式的灵活运用.求解时先依据向量的三角形法则建立方程组,求出,再运用向量的数量积公式求得,进而求得.14. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，AA1=3，E是线段A1B1上
6、一点，若二面角ABDE的正切值为3，则三棱锥AA1D1E外接球的表面积为参考答案：35【考点】球的体积和表面积【分析】如图所示，求出三棱锥AA1D1E外接球的直径为，问题得以解决【解答】解：过点E作EFAA1交AB于F，过F作FGBD于G，连接EG，则EGF为二面角ABDE的平面角，tanEGF=3，=3，EF=AA1=3，FG=1，则BF=B1E，A1E=2，则三棱锥AA1D1E外接球的直径为=，则其表面积为35，故答案为：3515. 已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的表面积为 （ ）A. B. C. D. 参考答案：B16. 已知实数满足，则的最大值是_.参考答案：
7、试题分析：如图作出所给约束条件对应的可行域，根据图象易知当目标函数经过A点时，取得最大值-1.考点：简单的线性规划17. 设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为_参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，且，平面平面，（）求证：平面平面（）若，为等边三角形，求点到平面的距离参考答案：见解析解：（）证明：，即，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面（）设中点，的中点为，因为为等边三角形，所以有，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，由（）可得，设点到平面的距离
8、为，因为，所以，所以点到平面的距离为19. (1)若不等式成立的充分不必要条件为，求实数m的取值范围(2)已知a，b是正数，且，求证：参考答案：(1) (2)见证明【分析】(1)先解出关于的不等式的解集，然后把命题的充分不必要条件转化为集合之间的子集关系进行求解；(2)把式子展开，化为，根据基本不等式、完全平方公式，结合已知，可以证明出不等式成立.【详解】解：(1)由得，即，若不等式成立的充分不必要条件为，则，即 ，得，即，即实数的取值范围是(2)证明：是正数，且， 成立【点睛】本题考查了命题的充分不必要条件转化为集合之间的关系问题，考查了利用基本不等式证明不等式的问题，考查了数学推理论证能力
9、.20. （本题满分12分）已知函数（1）当时，求函数的最小值和最大值； （2）设的内角的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值。参考答案：（1）， ;（2）(1) 。3分，从而。则的最小值是，最大值是。6分（2），则，解得。9分向量与向量共线，由正弦定理得， 由余弦定理得，即由解得。12分21. 设，函数（）已知是的导函数，且为奇函数，求的值；（）若函数在处取得极小值，求函数的单调递增区间。参考答案：解：（）， 故 ， 为奇函数， ，即 ； （） 列表如下： 在处取得极小值，在处取得极大值， 由题设，； 所以函数的递增区间为略22. 如图6所示，F1、F2为椭圆C： 1（b0）的左、右焦
10、点，D、E分别是椭圆C的右顶点和上顶点，椭圆的离心率e，1 .若点M(x0,y0)在椭圆C上，则点N(，)称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q，已知以PQ为直径的圆过坐标原点.（）求椭圆C的标准方程；（）问是否存在过左焦点F1的直线l，使得以PQ为直径的圆过坐标原点？若存在，求出该直线的方程，若不存在，请说明理由参考答案：解：（I）e c=a, b=aS DEF2(a-c)b=1a=2,b=1故椭圆C的标准方程为y21.5分（） 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x此时A（，），B（，）所以对应的“椭点”坐标为P（，），Q（，）= 0，所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+)(4k2+1)x28k2x12k240 x1x2 , x1x2= y1y2 x1x2k2 (x1x2)+3k20 k2，k直线方程为yx+或yx-13分略
