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1、2018年福建省泉州市东田中学高三数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知二次函数f(x)ax2bxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x，有f(x)0，则的最小值为()A3 B. C2 D.参考答案：C2. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）A的一个周期为 B的图像关于点对称 C. 的图像关于直线对称 D在区间上单调递增参考答案：D3. 设是定义在R上的偶函数，且，当时，若在区间内的关于x的方程（a0且a1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）A B C D参考答案：D4. 在
2、ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，若，则在方向上的投影等于（ ）A B-1 C1 D参考答案：B5. 设函数f（x）=ax+sinx+cosx若函数f（x）的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为（）ABCD1，1参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围【解答】解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得f（x）=a+cosxsinx，设A（x1，y1），B（
3、x2，y2），则f（x1）=a+cosx1sinx1，f（x2）=a+cosx2sinx2由曲线y=f（x）在点A、B处的切线互相垂直，得a2+（cosx1sinx1）+（cosx2sinx2）a+（cosx1sinx1）（cosx2sinx2）+1=0令m=cosx1sinx1，n=cosx2sinx2，则m，n，a2+（m+n）a+mn+1=0=（m+n）24mn4=（mn）24，0（mn）244当mn=时，m+n=0，又a=1a1函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为1，1故选D6. 已知函数，则它们的图象可能是（
4、）参考答案：【知识点】函数与导数的关系B11B 解析：因为二次函数g(x)的对称轴为x=1,所以排除A,D，又因为函数g(x)为函数f(x)的导数，由函数单调性与其导数的关系可排除C，所以选B.【思路点拨】发现函数g(x)与f(x)的导数关系是本题解题的关键.7. 已知三个向量，共线，其中a、b、c、A、B、C分别是ABC的三条边及相对三个角，则ABC的形状是( )A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形参考答案：B【考点】向量在几何中的应用 【专题】计算题；解三角形；平面向量及应用【分析】根据向量、共线得acos=bcos，结合正弦定理与二倍角的正弦公式化简，可得sin=sin，
5、从而得到A=B同理由、共线算出B=C，从而得到A=B=C，所以ABC是等边三角形【解答】解：与共线，acos=bcos，由正弦定理得sinAcos=sinBcos，sinA=2sincos，sinB=2sincos，2sincoscos=2sincoscos，化简得sin=sin又0，0，=，可得A=B同理，由与共线得到B=C，ABC中，A=B=C，可得ABC是等边三角形故选：B【点评】本题给出三个向量两两共线，由此判定三角形的形状着重考查了二倍角的三角函数公式、正弦定理和三角形形状的判定等知识，属于中档题8. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ( ) A； B； C； D.参考答案：C9
6、. 设的内角A，B，C所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，则为（ ）A4:3:2 B5:4:3 C6:5:4 D7:6:5参考答案：C试题分析：，又、为连续的三个正整数，设，（),由于，则，即，解得，由正弦定理得，选C.考点：正弦定理、余弦定理、二倍角的正弦公式.10. 若正项递增等比数列中满足，则的最小值为A. -2 B. -4 C. 2 D. 4参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某大型企业的招聘会上，前来应聘的本科生、硕士研究生和 博士研究生共2000人，各类毕业生人数统计如图所示，则博士研究生 的人数为_.参考答案：略12. 设定义在上的
7、奇函数，当时，则不等式的解集是_参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【试题分析】当时，因为，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，并且，所以，综上，不等式的解集为，故答案为.13. 如图，将菱形沿对角线折起，使得C点至，点在线段上，若二面角与二面角的大小分别为30和45，则= 参考答案：因为四边形是菱形，所以分别为平面与平面、平面与平面所成的二面角的平面角，即；在中，同理，易知，所以=， 故= 14. 设实数满足=4,则的最小值为 .参考答案：15. 如图，在面积为1的
8、正A1B1C1内作正A2B2C2，使，依此类推，在正A2B2C2内再作正A3B3C3，记正AiBiCi的面积为ai（i=1，2，n），则a1+a2+an= 参考答案：【考点】数列的求和【分析】先利用边长之间的关系得出三角形的面积组成以 1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式进行求和【解答】解：由，tanB1=，=tanB1?|=|，进而，（i=1，2，n），根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得：Si+1=3Si（i=1，2，n），即所作三角形的面积构成以1为 项，以为公比的等比数列a1+a2+an=故答案为：16. 已知直线的法向量为，则该直线的倾斜角为 （用反三角函数值表示）
9、参考答案：17. 若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是_参考答案：关于的方程在区间上有两个实根，所以，.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知函数处取得极小值4，若的取值范围为（1，3）. （）求的解析式及的极大值；（）当的图像恒在的图象 的下方,求m的取值范围.参考答案：解：（）由题意知，因此处取得极小值4，在x=3处取得极大值。 4分 6分则 7分（）由题意得，当，即，在2，3上是增函数，解得，的取值范围为 12分19. （本小题满分14分）为圆周率，e=2.718 28为自然对数的底数.（）求函
10、数的单调区间；（）求e3,3e,e,e,3,3这6个数中的最大数与最小数.（）将e3,3e,e,e,3,3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.参考答案：（）函数的定义域为因为，所以 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （）因为，所以，即，于是根据函数，在定义域上单调递增，可得，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中 由及（）的结论，得，即由，得，所以；由，得，所以综上，6个数中的最大数是，最小数是（）由（）知，.又有（）知，得.故只需比较与和与的大小.由（）知，当0xe时，即.在上式中，令，又，则，从而，即得.由得，即e3,亦
11、即，所以.又由得，即3，所以.综上可得，即6个数从小到大的顺序为.20. 已知函数f（x）=lnx+1（I）证明：曲线y=f（x）在x=1处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；（II）若关于x的不等式f（x）（a1）x恒成立，求整数a的最小值参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（I）求出导函数，得出切线方程，化为斜截式可得出定点坐标；（II）构造函数g（x）=lnx+1（a1）x，把恒成立问题转化为最值问题进行求解即可【解答】解：（）f（x）=lnx+1f（x）=ax，f（1）=1a，f（1）=a+1，在x=1处的切线为y（a+1）=（1
12、a）（x1），y=a（x）+x，恒过（，）；（II）令g（x）=lnx+1（a1）x0恒成立，g（x）=，（1）当a0时，g（x）0，g（x）递增，g（1）=a+20，不成立；（2）当a0时，当x在（0，）时，g（x）0，g（x）递增；当x在（，+）时，g（x）0，g（x）递减，函数最大值g（）=lna，令h（a）=lna，可知为减函数，h（1）0，h（2）0，整数a的最小值为221. 在平面直角坐标系中，已知，若直线于点D，点C是直线m上的一动点，H是线段CD的中点，且，设点H的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）过点作直线l交E于点P，交y轴于点Q，过O作直线，交E于点R.试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由?参考答案：解：（1）设，由题意得，所以，所以，化简得，所以所求点的轨迹E的方程为 （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 令，得，即由解得，即， 因为，所以的方程为，由解得， 所以，所以2 22. （12分）（2015?临潼区校级模拟）设f（x）=6cos2xsin2x（）求f（x）的最大值及最小正周期；（）A
