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1、2020-2021学年山东省淄博市中埠中学高三数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系. 对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回归方程为，则A. B. C. D.与的大小无法确定参考答案：B2. “”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A3. 已知
2、双曲线E：=1（a0b0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2直线AC的斜率为k则|k|等于（）A2BCD3参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由离心率公式，可得a，b，c的关系，运用直线的斜率公式，计算即可得到所求值【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=b=，由题意可设A（c，），B（c，），C（c，），D（c，），由双曲线E的离心率是2，可得e=2，即c=2a，b=a，直线AC的斜率为k=即有|k|=故选：B4. 已知角的终边经过点P(-
3、5，-12)，则的值等于 A B C D参考答案：C5. 已知= （ ） A1 B2 C2 D参考答案：答案:C 6. 已知，那么cos=( )ABCD参考答案：C考点：诱导公式的作用 专题：三角函数的求值分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cos的值解答：解：sin（+）=sin（2+）=sin（+）=cos=故选C点评：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键7. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是 （ ）A B C D参考答案：C略8. 设集合A=x|（x+1）（4x）0，B=x|03，则AB等于（）A（0，4）B（4，9）C（1，4）D（1，9）
4、参考答案：A【考点】交集及其运算【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x4）0，解得：1x4，即A=（1，4），由B中不等式解得：0x9，即B=（0，9），则AB=（0，4），故选：A9. 若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为A BCD参考答案：设圆柱的底面半径为，高为，则，则，则侧，全，故圆柱的侧面积与全面积之比为，故选10. 设实数x，y满足，则目标函数（ ）A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最小值-1，最大值3D. 既无最小值，也无最大值参考答案：B【分
5、析】先作出不等式的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式的可行域如图所示，由题的y=-x+z,直线的纵截距为z,当直线y=-x+z经过点A时，直线的纵截距z最小，联立得A(2,0),所以z最小=2+0=2，由于纵截距没有最大值，所以z没有最大值.故选：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则_.参考答案：1试题分析：，又，分别是定义在上的偶函数和奇函数，考点：函数的奇偶性12. 已知函数，则 参考答案：100713. 函数的最小正周期是_。参考答案：14. 若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆内的概率为 。参考答案
6、：略15. 在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是 参考答案：16. 已知函数的定义域为，函数的值域为，则 参考答案：（0,1）略17. 若将函数表示为， 其中，为实数，则_参考答案：10略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合（）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OMPA，ONPB时，求OMN的面积参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（）设点设P（x0，y0），从而可得直线PA与PB的斜率乘积为（）设方程为y=kx+m，由两点M，N满足OMPA，ONPB
7、及（）得直线OM，ON的斜率乘积为，可得到m、k的关系，再用弦长公式及距离公式，求出OMN的底、高，表示：OMN的面积即可【解答】（本小题满分13分）解：（）证明：设P（x0，y0），则所以直线PA与PB的斜率乘积为（）依题直线OM，ON的斜率乘积为当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=1取，则所以OMN的面积为当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程是y=kx+m，由得（3k2+2）x2+6kmx+3m26=0因为M，N在椭圆C上，所以=36k2m24（3k2+2）（3m26）0，解得3k2m2+20设M（x1，y1），N（x2，y2），则， =设点
8、O到直线MN的距离为d，则所以OMN的面积为因为OMPA，ONPB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以所以=由，得3k2+2=2m2由，得综上所述， 19. （本小题满分12分）已知椭圆离心率为，点在短轴CD上，且.（I）求椭圆E的方程；（II）过点P的直线与椭圆E交于A,B两点.（i）若，求直线的方程；（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.参考答案：见解析【知识点】椭圆解：（）由题意，又，所以椭圆E的方程（）当直线斜率不存在时，不符合题意，不存在这样的直线。当直线斜率存在，设方程为联立方程，整理得由韦达定理得由题意知，定点Q只可能
9、是下面证明存在点对任意斜率存在的直线，均有，为的角平分线，只需证明：，由（1）中韦达定理得成立即在y轴上，存在与点P不同的定点，使得恒成立。20. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA底面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，.（）求证：EF平面PAD；（）求PC与平面EFD所成角的正弦值；（）在棱BC上是否存在一点M，使得平面PAM平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（）证明：取中点，连接.因为分别是的中点，所以，且.因为是矩形，是中点，所以，.所以为平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（）因为平面，所以，.因为四边形是矩形，所以.如
10、图建立直角坐标系，所以，所以，.设平面的法向量为，因为，所以.令，所以，所以.又因为，设与平面所成角为，所以.所以与平面所成角的正弦值为.（）因为侧棱底面，所以只要在上找到一点，使得，即可证明平面平面.设上存在一点，则，所以.因为，所以令，即，所以.所以在存在一点，使得平面平面，且.21. 已知关于x的不等式的解集为(,2，其中(1) 求m的值；(2) 若正数a，b，c满足，求证：参考答案：(1) ；(2)见解析【分析】（1）分别在和两种情况下求解不等式，根据可得不等式的解集为，对应已知的解集可得结果；（2）利用基本不等式构造出，整理可求得结果.【详解】(1)由得：或,化简得：或由于，所以不等
11、式组的解集为，解得：(2)由(1)可知：，又为正数由基本不等式有：，三式相加可得：（当且仅当时取等号）整理可得：22. 如图，ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若sinABC=，PA=10（）求PB的长；（）求AD?DE的值参考答案：考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；推理和证明分析：（）通过证明ABPCAP，然后证明AC=2AB；（）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD?DE的值解答：解：（）PA是圆O的切线，PAB=ACB，又P是公共角ABPCAP，ABC内接于直径为BC的圆O，sinABC=，=2，PA=10，PB=5；（）由切割线定理得：PA2=PB?PCPC=20又PB=5，BC=15又AD是BAC的平分线，=2CD=2DB，CD=10，DB=5又由相交弦定理得：AD?DE=CD?DB=50点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用属于基础题
