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1、山东省烟台市开发区第一中学高二数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）. ks5uA.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C2. 下列给出的赋值语句中正确的是（ ）A BC D参考答案：B 解析：赋值语句的功能3. 在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P（如图11）若光线QR经过ABC的重心，则BP等于（）A2B1CD参考答案：C【考点】与
2、直线关于点、直线对称的直线方程【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP，BP的值【解答】解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0a4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4a），易得P关于y轴的对称点P2（a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k=，故直线QR的方
3、程为y=（x+a），由于直线QR过ABC的重心（，），代入化简可得3a24a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=，BP=故选C4. 的值是（ ）A B C D参考答案：A略5. 下列函数中，最小值为2的函数为 A BC D参考答案：D6. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位 C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位参考答案：B略7. 设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S1000，S1010，对任意正整数n，都有|an|ak|，则k的值为（）A49B50C51D52参考答案：C【考点】等差数列的性质【专题】函数思想；整体思想；
4、综合法；等差数列与等比数列【分析】由题意和等差数列的性质可得a50+a510；a510，进而可得a500，且|a50|a51|，可得结论【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S100=50（a1+a100）=50（a50+a51）0，a50+a510；同理S101=101a510，a510；a500，且|a50|a51|，k=51故选：C【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，整体得出项的正负是解决问题的关键，属中档题8. x2是x5的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由x5，可得x2；反之
5、不成立，即可判断出结论【解答】解：x5，可得x2；反之不成立x2是x5的必要不充分条件故选：B9. 设，nN，则 （ ） A. B. C. D.参考答案：A略10. 已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（bc）（sinB+sinC）=（a）?sinA，则角B的大小为（）A30B45C60D120参考答案：A【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由正弦定理化简已知等式可得c2+a2b2=ac，由余弦定理可求cosB，结合B的范围即可得解【解答】解：由正弦定理，可得，sinB=，sinC=，sinA=，由（bc）（sinB+sinC）=（a）?sinA可得，（bc）（b+c）=a（ac），即有
6、c2+a2b2=ac，则cosB=，由于0B180，则B=30故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水. 四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为的正方形，所以注水高为1+，故应注水 .参考答案：cm3. 解析：设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心，分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为. 故应注水
7、12. 点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是 11参考答案：略13. 设是首项为1的正项数列，且（n=1，2，3），求通项=_。参考答案：14. 与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是_.参考答案：略15. 若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复数=.参考答案：i略16. 下列命题成立的是 （写出所有正确命题的序号），； 当时,函数，当且仅当即时取最小值； 当时，；当时，的最小值为参考答案：17. 已知某四棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 ，其全面积是 参考答案：，16+【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】根据四棱
8、锥的三视图知四棱锥是侧放的直四棱锥，结合题意画出该四棱锥的直观图，计算它的体积和全面积【解答】解：根据四棱锥的三视图知，则四棱锥是侧放的直四棱锥，且底面四边形是矩形，边长分别为4和2，高为，如图所示；所以该四棱锥的体积为V四棱锥=42=；其全面积为S=24+224+2+2=16+故答案为：，16+三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线，曲线.（I）求曲线C1及C2的直角坐标方程；（II）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上的点的距离最大值.参考答
9、案：解：（I）由得，即由得：C1的直角坐标方程为C2的直角坐标方程为.6分（II）点(2,0)到直线的距离点P到C2上点的距离最大值为.12分19. 某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成。已知木工做一张甲、乙型桌子分别需要小时和小时，漆工油漆一张甲、乙型桌子分别需要小时和小时，又木工、漆工每天工作分别不得超过小时和小时，而家具厂制造一张甲、乙型桌子分别获利润元和元.试问家具厂每天生产甲、乙型桌子各多少张，才能获得最大利润？参考答案：解：设家具厂每天生产甲型桌子张，乙型桌子张，获得的利润为元， 由题意，得，其中，满足约束条件且x、y,画出可行域，如图所示，作直线，即
10、，将直线 向右上方平移，当平移至直线与直线的交点M时，目标函数取得最大值， 解方程组 得M点的坐标为，所以，当时，. 答：家具厂每天生产甲型桌子2张，乙型桌子3张，才能获得最大利润.略20. （本小题满分14分）已知椭圆的方程为，其焦点在轴上，离心率，（1）求该椭圆的标准方程（2）设动点满足，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，给出证明，若不存在，请说明理由。参考答案：（1）由，所以椭圆方程为。（2）设，则由得，因为在椭圆上，所以，又因为，即，故=20，即（定值）（3）由（2）知，点是椭圆上的点，则由定义，必存在两
11、个焦点，满足为定值。略21. 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足且的必要不充分条件，求实数的取值范围参考答案：解：设 是的必要不充分条件，必要不充分条件， 所以，又，所以实数的取值范围是 略22. 如图，已知焦点在x轴上的椭圆=1（b0）有一个内含圆x2+y2=，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且（O为原点）（1）求b的值；（2）设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B求证：，并求|的取值范围参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）设出M，N的坐标，利用知|y1|=，即点（，）在椭圆上，代入椭圆方程，即可求b的值；（2）分类讨论，当lx轴时，由（1）知；当l不与x轴垂直
12、时，设l的方程是：y=kx+m，代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，利用韦达定理证明x1x2+y1y2=0即可，利用弦长公式，结合换元、配方法，即可确定|AB|的取值范围【解答】（1）解：当MNx轴时，MN的方程是x=，设M（，y1），N（，y1），由知|y1|=，即点（，）在椭圆上，代入椭圆方程得b=2（2）证明：当lx轴时，由（1）知；当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，即kxy+m=0则=，即3m2=8（1+k2）y=kx+m代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，=16k2m24（1+2k2）（2m28）=（4k2+1）0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，x1x2=，所以x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，即即椭圆的内含圆x2+y2=的任意切线l交椭圆于点A、B时总有当lx轴时，易知|AB|=2=当l不与x轴垂直时，|AB|=?设t=1+2k21，+），（0，1则|AB|=?=?所以当=即k=时|AB|取最大值2，当=1即k=0时|AB|取最小值，综上|AB|
