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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶导数的运算法则 第二节一、高阶导数的概念高阶导数 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动目录 上页 下页 返回 结束 定义. 若函数的导数可导,或即或类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或的二阶导数 , 记作的导数为依次类推 ,分别记作则称目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 设求解:依次类推 ,例1.思考: 设问可得目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设求解:特别有:解:规定 0 ! = 1思考:例3. 设求目录 上页 下页 返回 结束 例4.
2、 设求解: 一般地 ,类似可证:目录 上页 下页 返回 结束 规律 二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则(C为常数)莱布尼茨(Leibniz) 公式及设函数规律规律用数学归纳法可证目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求解: 设则代入莱布尼茨公式 , 得目录 上页 下页 返回 结束 例6.解.练习：目录 上页 下页 返回 结束 内容小结(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼茨公式高阶导数的求法如下列公式目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 隐函数和参数方程求导 相关变化
3、率 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数 .例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数 .则称此隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )(含导数 的方程)目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求由方程在 x = 0 处的导数解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求椭圆在点处的切线方程.解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求的导
4、数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导目录 上页 下页 返回 结束 1) 对幂指函数可用对数说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:求导法求导 :目录 上页 下页 返回 结束 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如,两边取对数两边对 x 求导目录 上页 下页 返回 结束 又如, 对 x 求导两边取对数目录 上页 下页 返回 结束 练习题. 设由方程确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得再求导, 得当时,故由 得再代入 得 求目录 上页 下页 返回 结束 二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则关系,目录 上页 下页
5、 返回 结束 若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得目录 上页 下页 返回 结束 ?例4. 设求由此方程所确定的函数的二阶导数。已知解:注意 :对谁求导? 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向 (即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,则目录 上页 下页 返回 结束 抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向目录 上页
6、 下页 返回 结束 三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率目录 上页 下页 返回 结束 例6. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则两边对 t 求导已知 h = 500m 时,目录 上页 下页 返回 结束 思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?提示: 对 t 求导已知求目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
