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1、- - 苏北三市高三年级第三次模拟考试 高三年级第三次模拟考试(三) 数学参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差s21nni1 (xix)2，其中x1nni1xi. 棱锥的体积V13Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高 一、 填空题：本大题共 1414 小题，每小题 5 5 分，共计 7070 分 1. 已知集合 A1，1，2，B0，1，2，7，则集合 AB 中元素的个数为_ 2. 设 a，bR R，1i1iabi(i 为虚数单位)，则b的值为_ (第 5 5 题) 3. 3. 在平面直角坐标系 xOyxOy 中，双曲线x x2 24 4y y2 23 31 1 的离心率是_ 4. 4. 现有
2、三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是_ 5. 5. 如图是一个算法的流程图，则输出的 k k 的值为_ 6. 6. 已知一组数据 3 3，6 6，9 9，8 8，4 4，则该组数据的方差是_ 7. 7. 已知实数 x x，y y 满足y yx x1 1，x x3 3x xy2y2，则y yx x的取值范围是_ 8. 8. 若函数 f f(x x)2 2sinsin(2x2x) 001a1)的图象上，则实数 a a 的值为_ 12. 12. 已知对于任意的 xx(，1 1)(5 5，)，都有 x x2 22 2(a a2 2)x x
3、a0a0，则实数 a a 的取值范围是_ 13. 13. 在平面直角坐标系 xOyxOy 中， 圆 C C： (x x2 2)2 2(y ym m)2 23.3.若圆 C C 存在以 G G 为中点的弦 ABAB， 且 ABAB2GO2GO，则实数 m m 的取值范围是_ 14. 14. 已知ABCABC 三个内角 A A，B B，C C 的对应边分别为 a a，b b，c c，且 C C3 3，c c2.2.当ACACABAB取得最大值时，b ba a的值为_ 二、 解答题：本大题共 6 6 小题，共计 9090 分解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤 15. (本小题满分 14 分)
4、如图，在ABC 中，已知点 D 在边 AB 上，AD3DB，cosA45，cosACB513，BC13. (1) 求cosB 的值； (2) 求 CD 的长 16. (本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上(异于点 P，C)，平面 ABE 与棱 PD 交于点F. (1) 求证：ABEF；(2) 若平面 PAD平面 ABCD，求证：AFEF. 17. (本小题满分 14 分) - - 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x24y231 的左、右顶点分别为 A，B，过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点
5、(点 P 在 x 轴上方) (1) 若 QF2FP，求直线 l 的方程； (2) 设直线 AP，BQ 的斜率分别为 k1，k2.是否存在常数 ，使得 k1k2？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 18. (本小题满分 16 分) 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示圆 D 的圆心与矩形 ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为 1m，且ABAD12.设EOF，透光区域的面积为 S. (1) 求 S 关于 的函数关系式，并求出定义域 (2) 根据设计要求，透
6、光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求边 AB 的长度 - - 19. (本小题满分 16 分) 已知两个无穷数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，a11，S24，对任意的 nN N*，都有 3Sn12SnSn2an. (1) 求数列an的通项公式； (2) 若bn为等差数列，对任意的nN N*，都有SnTn.证明：anbn； (3) 若bn为等比数列，b1a1，b2a2，求满足an2Tnbn2Snak(kN N*)的n值 20. (本小题满分 16 分) 已知函数f(x)mxxlnx(m0)，g(x)lnx2. (1) 当m1 时，求函数f(x)的单调增区间； (2)
7、 设函数h(x)f(x)xg(x) 2，x0.若函数yh(h(x)的最小值是3 22，求m的值； (3) 若函数f(x)，g(x)的定义域都是，对于函数f(x)的图象上的任意一点A，在函数g(x)的图象上都存在一点B，使得OAOB，其中 e 是自然对数的底数，0 为坐标原点求m的取值范围 - - 高三年级第三次模拟考试(三) 数学附加题 21. 本题包括 A A、B B、C C、D D 四小题，请选定其中两题，并作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A. (本小题满分 10 分) 如图，圆 O 的弦 AB，MN 交于点 C，且 A 为弧 MN 的中点，点 D
8、 在弧 BM 上若ACN3ADB，求ADB的度数 B. (本小题满分 10 分) 已知矩阵A Aa32d，若 A A1284，求矩阵A A的特征值 C. (本小题满分 10 分) 在极坐标系中，已知点A2，2，点B在直线l：cossin0(02)上当线段AB最短时，求点B的极坐标 D. (本小题满分 10 分) 已知a，b，c为正实数，且a3b3c3a2b2c2.求证：abc333. - - 【必做题】第 2222 题、第 2323 题每题 1010 分，共计 2020 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，点 F(1，0)
9、，直线 x1 与动直线 yn 的交点为 M，线段 MF 的中垂线与动直线 yn 的交点为 P. (1) 求动点 P 的轨迹 E 的方程； (2) 过动点 M 作曲线 E 的两条切线，切点分别为 A，B，求证：AMB 的大小为定值 23. (本小题满分 10 分) 已知集合 U1，2，nnN N*，n2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若AB ，则称(A，B)为集合U的一组“互斥子集”记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”) (1) 写出f(2)，f(3)，f(4)的值； (2) 求f(n). - - 高三年级第三次模拟考试(三)(苏北三市)
10、数学参考答案 一、 填空题 1. 1. 5 2. 2. 1 3. 3. 72 4. 4. 16 5. 5. 6 6. 6. 265(或 5.2) 7. 7. 13，23或13yx23 8. 8. (12，712)或12，712 9. 9. 512 10. 10. 943 11. 11. 2 12. 12. (1，5(或 1a5) 13. 13. (或 2m 2) 14. 14. 2 3 二、 解答题 15. 15. (1) 在ABC 中，cosA45，A(0，)， 所以sinA 1cos2A145235.(2 分) 同理可得，sinACB1213. (4 分) 所以cosBcos cos(AA
11、CB) sinAsinACBcosAcosACB (6 分) 351213455131665.(8 分) (2) 在ABC 中，由正弦定理得，ABBCsinAsinACB1335121320.(10 分) 又 AD3DB，所以 BD14AB5. (12 分) 在BCD 中，由余弦定理得， CD BD2BC22BDBCcosB 5213225131665 9 2. (14 分) 16. 16. (1) 因为 ABCD 是矩形，所以 ABCD.(2 分) 又因为 AB平面 PDC，CD平面 PDC， 所以 AB平面 PDC.(4 分) 又因为 AB平面 ABEF， 平面 ABEF平面 PDCEF，
12、 所以 ABEF.(6 分) (2) 因为 ABCD 是矩形，所以 ABAD. (8 分) - - 又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， AB平面 ABCD，所以 AB平面 PAD. (10 分) 又 AF平面 PAD，所以 ABAF. (12 分) 又由(1)知 ABEF，所以 AFEF.(14 分) 17. 17. (1) 因为 a24，b23，所以 c a2b21， 所以 F 的坐标为(1，0)，(1 分) 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线 l 的方程为 xmy1， 代入椭圆方程，得(43m2)y26my90， 则 y13m6 1m243m2，
13、y23m6 1m243m2. (4 分) 若 QF2PF，则3m6 1m243m223m6 1m243m20， 解得 m2 55，故直线 l 的方程为 5x2y 50.(6 分) (2) 由(1)知，y1y26m43m2，y1y2943m2， 所以 my1y29m43m232(y1y2)，(8 分) 所以k1k2y1x12x22y2y1（my21）y2（my13） (12 分) 32（y1y2）y132（y1y2）3y213， 故存在常数 13，使得 k113k2.(14 分) 18. 18. (1) 过点 O 作 OHFG 于点 H，则OFHEOF， 所以 OHOFsinsin， FHOFc
14、oscos.(2 分) 所以 S4SOFH4S扇形 OEF 2sincos412 sin22，(6 分) 因为ABAD12，所以sin12， 所以定义域为6，2.(8 分) - - (2) 矩形窗面的面积为 S矩形ADAB22sin4sin. 则透光区域与矩形窗面的面积比值为 2sincos24sincos22sin.(10 分) 设 f()cos22sin，62. 则 f()12sinsincos2sin2 sincossin32sin2sincos2cos2sin2 cos12sin22sin2，(12 分) 因为62，所以12sin212， 所以12sin20，故 f()Tn，所以 n2
15、nb1n（n1）2d，即(2d)nd2b10 恒成立， 所以2d0，d2b10， 即d2，2b1T1，得 b10. - - 所以 anbn，得证. (8 分) 证法二：设bn的公差为 d，假设存在自然数 n02，使得 an0bn0， 则 a1(n01)2b1(n01)d，即 a1b1(n01)(d2)， 因为 a1b1，所以 d2.(6 分) 所以 TnSnnb1n（n1）2dn2d21 n2b1d2n， 因为d210，所以存在 N0N N*，当nN0时，TnSn0 恒成立 这与“对任意的nN N*，都有SnTn”矛盾！ 所以anbn，得证. (8 分) (3) 由(1)知，Snn2.因为bn
16、为等比数列，且b11，b23， 所以bn是以 1 为首项，3 为公比的等比数列 所以bn3n1，Tn3n12.(10 分) 则an2Tnbn2Sn2n13n13n12n23n2n23n12n236n22n23n12n2， 因为nN N*，所以 6n22n20，所以an2Tnbn2Sn0， 所以 0f(2)f(3)f(n)1 时，f(x)0；当 0 x1 时，f(x)0. 所以函数 f(x)的单调增区间是(1，)(4 分) (2) h(x)mx2x 2，则 h(x)2mx22x2mx2，令 h(x)0 得 xm2， 当 0 xm2时，h(x)m2时，h(x)0，函数 h(x)在(m2，)上单调增 - - 所以minh(m2)2 2m 2.(6 分) 当 2(2 m1)m2，即 m49时， 函数 yh(h(x)的最小值 h(2 2m 2) 2m2（2 m1）2（2 m1）1322， 即 17m26 m90，解得 m1 或 m917(舍)，所以 m1；8 分) 当 0 2(2 m1)m2，即14m0 在上恒成立， 所以函数 ylnx2x在上单调增，故 kOB2，1e.(12 分) 所以 kO
