多边形及其内角和讲义

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1、第一部分知识点回顾多边形内角和第 - 2 -页边形。定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多凸多边形分类 1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。分类 2：多边形非正多边形：1、n 边形的内角和等于180（ n-2 ）。多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360。3、n 边形的对角线条数等于1/2 n（ n-3 ） 只用一种正多边形：3、4、6/ 。镶嵌拼成 360 度的角只用一种非正多边形（全等） ：3、4。知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在同一平面内。多边形的分类：不叫三边形2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全

2、覆盖，通常把这类问 题叫做用多边形覆盖平面( 或平面镶嵌) 。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360；相邻的多边形有公共边。3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：(1) 用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360。(2) 只用一种正多边形镶嵌地面：只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。注意：任意四边形的内角和都等于360。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成 无空隙的地板， 用任意相同的三角形也可以铺满地面。(3) 用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边

3、长相等的正 多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形及正方形、正三角形及正六边形、正三角形及正十二边形、正四边形及正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360。规律方法指导1. 内角和及边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少， 内角和减少.每增加一条边，内角的和就增加 180（反过来也成立） ，且多边形的内角和必须是180的整数倍 .2. 多边形外角和恒等于360，及边数的多少无关.3. 多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐

4、角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角 .4. 在运用多边形的内角和公式及外角的性质求值时，常及方程思想相结合， 运用方程思想是解决本节问题的常用方法 .5. 在解决多边形的内角和问题时，通常转化为及三角形相关的角来解决.三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用. 第二部分经典习题类型一：多边形内角和及外角和定理应用1. 一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？总结升华： 本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用.只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三：【变式 1】若一个多边形的

5、内角和及外角和的总度数为 1800，求这个多边形的边数.【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为 2750，求这个多边形的内角和是多少？【答案】 设这个多边形的边数为，这个内角为，.【变式3】个多边形的内角和及某一个外角的度数总和为1350，求这个多边形的边数。类型二：多边形对角线公式的运用2. 某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛） . 你能算出一共需要进行多少场比赛吗？思路点拨： 本题体现及体育学科的综合，解题方法参照多边形对角线条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数. 如图：总结升华： 对于其他学科问题要善于把它及数学知识联系在一起，便于

6、解决 .举一反三：【变式 1】一个多边形共有20 条对角线，则多边形的边数是（）. A 6B 7C 8D9【变式 2】一个十二边形有几条对角线。总结升华 ：对于一个n边形的对角线的条数，我们可以 总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。类型三：可转化为多边形内角和问题3如图，求 A B C D E F 的度数 .思路点拨 :设法将这几个角转移到一个多边形中，然后利用多边形内角和公式求解.总结升华：本题通过作辅助线，把A 及 G 的和转化为1及 2的和，从而把问题变为求五边形的内角和运算，第 - 3 -页“转化思想

7、”是解决本题的关键.举一反三：【变式 1】如图所示， 1+ 2+ 3+4+ 5+ 6= .类型四：实际应用题4. 如图，一辆小汽车从P 市出发，先到B 市，再到C 市，再到 A 市，最后返回 P 市，这辆小汽车共转了多少度角？思路点拨：根据多边形的外角和定理解决.解析： 如图，总结升华： 旋转的角度是指原来前进的方向及转弯后的方向的夹角 . 小汽车沿任意多边形行驶一周回到原处，转过的角度都是360举一反三：【变式 1】如图所示，小亮从A 点出发前进 10m，向右转 15，再前进10m，又向右转15，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了 m.【变式 2】小华从点 A 出发向前走 10

8、 米，向右转 36，然后继续向前走10 米，再向右转 36，他以同样的方法继续走下去，他能回到点 A 吗？若能，当他走回点 A 时共走了多少米？若不能，写出理由。【变式 3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB CF， CDAE.按规定 AB、CD的延长线相交成80角，因交点不在模板上，不便测量.这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD 的延长线的夹角是否合乎规定，你 知道需测哪一个角吗？说明理由.思路点拨：本题中将AB、CD 延长后会得到一个五边形，根据五边形内角和为540，又由 AB CF，CD AE，可知 BAE+ AEF+ EFC=360，从 540中减去 80再减去

9、 360，剩下C的度数为 100，所以只需测 C的度数即可，同理还可直接测 A的度数 .总结升华：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线.类型五：镶嵌问题5. 分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的第 - 4 -页设计图。(1) 正方形和正八边形；(2) 正三角形和正十二边形；(3) 正三角形、正方形和正六边形。思路点拨： 只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。解析： 正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是 60、 90、 120、135、 150。(1) 因为 902 135 360，所以一个顶点处有

10、1 个正方形、 2 个正八边形，如图(1)所示。(2) 因为 602 150 360，所以一个顶点处有1 个正三角形、 2 个正十二边形， 如图 (2) 所示。(3) 因为 602 90 120 360，所以一个顶点处有1 个正三角形、 1 个正六边形和 2 个正方形，如图 (3)所示。总结升华： 用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。举一反三：【变式 1】分别用形状、大小完全相同的三角形木板；四边形木板；正五边形木板；正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、 B、C、D、 解析： 用同一种多边形木板铺地面，只

11、有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用，不能用正五边形木板，故【变式 2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是( )A、4B、5C、6D、8【答案】 A（提示： 先算出正八边形一个内角的度数，再乘以 2，然后用 360 减去刚才得到的积，便得到第三块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数）7.3多边形及其内角和( 请在50 分钟内完成，按考试要求自己)一、选择题:( 每小题 3 分, 共 24 分)1. 一个多边形的外角中, 钝角的个数不可能是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2. 不能作为正多边形的内角

12、的度数的是() A.120 B.(108) C.144D.1453. 若一个多边形的各内角都相等, 则一个内角及一个外角的度数之比不可能是()A.2:1B.1:1C.5:2D.5:44. 一个多边形的内角中, 锐角的个数最多有()A.3个 B.4个C.5个D.6个5. 四边形中 , 如果有一组对角都是直角, 那么另一组对角可能()第 - 6 -页A. 都是钝角 ;B.都是锐角C.是一个锐角、一个钝角D.是一个锐角、一个直角6. 若从一个多边形的一个顶点出发, 最多可以引10 条对角线 , 则它是 ()A. 十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形7. 若一个多边形共有十四条对角线, 则它是

13、()A. 六边形B.七边形C.八边形D.九边形8. 若一个多边形除了一个内角外, 其余各内角之和为2570 , 则这个内角的度数为()A.90B.105C.130D.120二、填空题:( 每小题 3 分, 共 15 分)1. 多边形的内角中 , 最多有 个直角 .2. 从 n边形的一个顶点出发, 最多可以引 条对角线 ,这些对角线可以将这个多边形分成 个三角形 .3. 如果一个多边形的每一个内角都相等, 且每一个内角都大于135 ,那么这个多边形的边数最少为 .4. 已知一个多边形的每一个外角都相等, 一个内角及一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为 .5. 每个内角都为144的多边

14、形为 边形.三、基础训练 :(每小题 12 分, 共 24 分)1. 如图所示 , 用火柴杆摆出一系列三角形图案, 按这种方式摆下去,当摆到 20 层(n=20) 时, 需要n=多1 少根火柴 ?n=2n=32. 一个多边形的每一个外角都等于24 , 求这个多边形的边数.四、提高训练 :(共 15 分)一个多边形的每一个内角都相等, 一个内角及一个外角的度数之比为m:n, 其中m,n 是互质的正整数 , 求这个多边形的边数( 用 m,n 表示) 及 n 的值.五、探索发现 :(共 18 分)从 n 边形的一个顶点出发, 最多可以引多少条条对角线?请你总结一下n 边形共有多少条对角线 .六、中考题及竞赛题:(共 4 分)(2002湖南 ) 若一个多边形的内角和等于1080 , 则这个多边形的边数是()A.9B.8C.7D.6答案:一、 1.D2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.C二、 1.42.(n-3)