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1、 第二章 建模方法示例2.1 公平的席位分配2.2 录像机计数器的用途2.3 双层玻璃窗的功效2.4 汽车刹车距离2.5 划艇比赛的成绩2.6 实物交换2.7 核军备竞赛2.8 启帆远航2.9 量纲分析与无量纲化Date数学建模2.1 公平的席位分配系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0总和 200 100.0 20.0 2021席的分配 比例 结果10.815 6.615 3.570 21.000 21问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，
2、4席。现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。比例加惯例对丙系公平吗系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4总和 200 100.0 20.0 2021席的分配 比例 结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21
3、Date数学建模“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标 人数 席位 A方 p1 n1B方 p2 n2当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对A的绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对A的不公平程度已大大降低!虽二者的绝对不公平度相同若 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平A p1/n1 p2/n2=5Date数学建模1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给
4、 A2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1, n2)应计算rA(n1, n2+1)若rB(n1+1, n2) p2/n2 问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给 BDate数学建模当 rB(n1+1, n2) 车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离常数Date数学建模假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和2. 反应距
5、离 d1与车速 v成正比3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;F d2= m v2/2F mt1为反应时间且F与车的质量m成正比Date数学建模 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k模 型最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间车车速(英里/小时时) (英尺/秒)实际实际 刹车车距离（英尺）计计算刹车车距离（英尺）刹车时间车时间（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（2
6、68）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3Date数学建模“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”模 型车车速(英里/小时时)刹车时间车时间（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车车速（英里/小时时）010104040606080t（秒）1234Date数学建模2.5 划艇比赛的成绩赛艇 2000米成绩 t (分)种类 1 2 3 4 平均单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人 6.33 6.42 6.48 6.13
7、 6.32八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长l 艇宽b (米) (米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重w0(kg) 浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问题准备调查赛艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不变Date数学建模问题分析 前进阻力 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由
8、前进动力和前进阻力决定划浆功率 赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量 艇重浸没面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型Date数学建模模型假设1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征模型建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比赛成绩 t n
9、1/9np fvDate数学建模模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验tn12487.216.886.325.84与模型巧合！Date数学建模问题甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图：若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y) xyyo0 xo2.6 实
10、物交换Date数学建模xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的无差别曲线分析与建模如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差别的，MN将所有与p1, p2无差别别的点连连接起来，得到一条无差别别曲线线MN, 线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。Date数学建模p1.p2.c1y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质： 单调减(x增加, y减小) 下凸(凸向原点) 互不相交在p1点占有x少、y多，宁
11、愿以较多的 y换取较少的 x;在p2点占有y少、x多，就要以较多的 x换取较少的 y。甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度（f 等满意度曲线）Date数学建模xyOg(x,y)=c2c2乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同） 双方的交换路径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系xOy, 且反向）甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上因为在AB外的任一点p, (双方)满意度低于AB上的点p两族曲线切点连线记作ABDate数学建模ABp 交换方案的进一步确定交换方案 交换后甲的占有量 (
12、x,y)0 xx0, 0yy0矩形内任一点交换路径AB双方的无差别曲线族等价交换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为CD(x0,0), (0,y0) 两点的连线CDAB与CD的交点p设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.xDate数学建模2.7 核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。 当一方采取加强防御、提高武器精度、发
13、展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。背景Date数学建模以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的核威慑战略： 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地； 乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。模型假设Date数学建模图的模型y=f(x)甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)乙方
14、有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数当 x=0时 y=y0，y0乙方的威慑值xyy00y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区甲安全区双方安全区P平衡点(双方最少导弹数)乙安全线Date数学建模精细模型乙方残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。sx个基地未摧毁，yx个基地未攻击。xy甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的xy个被攻击2次，s2(xy)个未摧毁；y (xy)=2y x个被攻击1次，s(2y x )个未
15、摧毁y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yy= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2Date数学建模 a交换比(甲乙导弹数量比)x=a y,精细模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威慑值s残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡s变大，y减小，曲线变平a变大，y增加，曲线变陡xy0y0 xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,Date数学建模 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值 y0变大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。（其
16、它因素不变）乙安全线 y=f(x)上移模型解释 平衡点PPDate数学建模 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线y=f(x)不变甲方残存率变大威慑值x 0和交换比不变x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少PPDate数学建模 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标(x , y仍为双方核导弹的数量)双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加y0减小 y下移且变平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)a 变大 y增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析模型解释 乙安全线 y=f(x)Date数学建模帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向简化问题AB 风向北航向帆船海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，帆以及帆的朝向2.8 启帆远航Date数学建模模型分析 风(通过帆)对船的推力w 风对船体部分的阻力p推力w的分解 wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模
