1 数学分析期末考试试题一、叙述题：（每小题 6 分，共 18 分）1、 牛顿 -莱不尼兹公式2、1nna收敛的 cauchy 收敛原理3、 全微分二、计算题： （每小题8 分，共 32 分）1、40202sinlimxdttxx2、求由曲线2xy和2yx围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积3、求1) 1(nnnnx的收敛半径和收敛域，并求和4、已知zyxu，求yxu2三、 （每小题10 分，共 30 分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数1!nnnn2、讨论反常积分01dxexxp的敛散性3、讨论函数列),(1)(22xnxxSn的一致收敛性四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）1、设)2, 1(11,01nnxxxnnn，证明1nnx发散2、证明函数000),(222222yxyxyxxyyxf在（ 0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微 ，2 参考答案一 、 1 、 设)(xf在 连 续 ，)(xF是)(xf在,ba上 的 一 个 原 函 数 ， 则 成 立)()()(aFbFdxxfba2、, 0.0N使得Nnm，成立mnnaaa213、设2RD为开集，,baDyxyxfz),(),(是定义在D上的二元函数，),(000yxP为D中的一定点，若存在只与点有关而与yx,无关的常数A 和 B，使得)(22yxoyBxAz则称函数f 在点),(000yxP处是可微的，并称yBxA为在点),(000yxP处的全微分二、 1、分子和分母同时求导316sin2limsinlim54060202xxxxdttxxx（8 分）2、 、两曲线的交点为（0， 0） ， （1，1） （2 分）所求的面积为：31)(102dxxx（3 分）所求的体积为：103)(105dxxx（3 分）3、 解：设1) 1()(nnnnxxf，1)1(1)2)(1(1limnnnnn，收敛半径为1，收敛域-1，1（2 分）),10(),1ln(11)1()(121xxxxnxxfnn)10(),1ln(11)()(0 xxxxdttfxfx(3 分）x=0 级数为 0，x=1，级数为1，x=-1，级数为1-2ln2（ 3 分）4、解：yu=zxxzyln（3 分）yxu2zxxxxzyzy1ln1(5 分）三、 1、解、有比较判别法，Cauchy,DAlembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容4分）3 11)111 (lim!) 1()!1(limennnnnnnnnn（ 4 分）由 DAlembert判别法知级数收敛（1 分）2、 解 ：1110101dxexdxexdxexxpxpxp（ 2 分 ） ， 对101dxexxp， 由 于)0(111xexxxpp故p0 时101dxexxp收敛（4 分）；11dxexxp，由于)(012xexxxp（4 分）故对一切的p11dxexxp收敛，综上所述p0，积分收敛3、解：221)(nxxSn收敛于x（4 分）0)(suplim),(xxSnxn所以函数列一致收敛性（ 6 分）四、证明题 （每小题 10 分，共 20 分）1、证明：11123221213423nnnxxxxxxxxnnn)2( ,112nxnxn（6 分）211nn发散，由比较判别法知级数发散（4 分）2、证明：|022xyyxxy（4 分）22)0,0(),(limyxxyyx=0 所以函数在（0，0）点连续， （3 分） 又00lim0 xx，)0, 0(),0 ,0(yxff存在切等于0，（4 分） 但22)0,0(),(limyxyxyx不存在，故函数在（0，0）点不可微（3 分）。