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1、2021-2022学年云南省昆明市官渡区福海中学高三数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|4，则满足条件的直线l有A 4条 B 3条 C2条 D无数条参考答案：B【知识点】双曲线【试题解析】若直线l与双曲线的右支交于两点，则|AB|即使|AB|4的直线只一条；若直线l与双曲线的两支交于两点，则使|AB|4的直线有两条，所以满足条件的直线l共有3条。故答案为：B2. 已知函数，则的图象大致是（ ）参考答案：D3. 已知复数，若，则复数z的共轭复数A B
2、 C D参考答案：B4. 已知向量，则向量与的夹角为A B C D参考答案：A略5. 已知、是三次函数f(x)x3ax22bx的两个极值点，且(0,1)，(1,2)，则的取值范围是()A B C D参考答案：A6. 已知Sn表示等差数列的前n项和，且 （ ） A、 B、 C、 D、 参考答案：B7. 已知，若恰有两个根,则的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案：D由题意，所以，从而，求导可得，当时，当时，所以函数在，所以选D.点睛：判断函数零点问题，可以转化为方程的根或者两个函数的交点问题，特别是选择题、填空题，通过函数图像判断较简单。涉及至少、至多这类问题的证明可以考虑反证法，注
3、意假设的结论是求证问题的反面，即原命题的非命题。8. 执行如右图所示的程序框图,若输入的值等于7,则输出的的值为A.15 B.16 C.21 D.22参考答案：B9. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D. 参考答案：B10. 若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,则关于x的一元二次方程有实根的概率是A. B. C. D. 参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设为锐角，若 .参考答案：12. 若函数,且,则的值为 参考答案：-1略13. 抛物线的顶点为，过焦点且
4、倾斜角为的直线与抛物线交于 两点，则的面积是 参考答案：略14. 已知三棱锥PABC中，PA面ABC，ABAC，PA=AC=1，AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，点M、S分别为PB、BC的中点，则SN与平面CMN所成角的大小为参考答案：45考点： 直线与平面所成的角 专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 建立空间直角坐标系，利用向量法求直线和平面所成的角解答： 解：以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图则C（0，1，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，0），=（，0）设=（x，y，z）为平面CMN的法向量，=（1，1，），=（，1，0）
5、，可得平面CMN的一个法向量=（2，1，2），设直线SN与平面CMN所成角为，sin=|cos，|=，SN与平面CMN所成角为45故答案为：45点评： 本题主要考查直线所成角的大小求法，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法15. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于 cm3 参考答案：24【考点】由三视图求面积、体积【分析】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可【解答】解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3如图：V=V棱柱V棱锥=24（cm3）故答案为
6、：2416. 设复数 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且 ，则 _.参考答案：17. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为_ 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=alnxx（a0）（）求函数f（x）的最大值；（）若x（0，a），证明：f（a+x）f（ax）；（）若，（0，+），f（）=f（），且，证明：+2参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）先利
7、用导数研究函数的单调性，然后求其最值；（2）将不等式化简归零，然后问题转化为不等式恒成立问题，再构造函数，将问题转化为函数的最值问题，利用导数解决；（3）结合（2）的结论，利用函数的单调性可推出结果【解答】解：（）令，所以x=a易知，x（0，a）时，f（x）0，x（a，+）时，f（x）0故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+）递减故f（x）max=f（a）=alnaa（）令g（x）=f（ax）f（a+x），即g（x）=aln（ax）aln（a+x）+2x所以，当x（0，a）时，g（x）0所以g（x）g（0）=0，即f（a+x）f（ax）（）依题意得：a，从而a（0，a）由（）知，f（2a
8、）=fa+（a）fa（a）=f（）=f（）又2aa，a所以2a，即+2a【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用19. （本小题满分12分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交线段B1C于点F以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图（）求证：A1C平面BED；（）求A1B与平面BDE所成角的正弦值的大小参考答案：（） 见解析; （）【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角；向量语言表述线面的垂直、平行关系G10 G11解
9、析：（）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）设E（0，2，t），则BEB1C，t=1E（0，2，1），且，且，平面BDE （）由（）知是平面BDE的一个法向量，A1B与平面BDE所成角的正弦值为【思路点拨】（I）由已知中，正四棱柱ABCDA1B1C1D1底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，我们易求出正四棱柱中各顶点的坐标，设E（0，2，t），根据BEB1C，我们易由它们的方向向量数量积为0，构造关于t的方程，求出t值，然后根据向量数量为0，向量垂直，对应的线段也垂直，可证得直线A
10、1C与BE，BD均垂直，再由线面垂直的判定定理得到A1C平面BED；（）由（1）中结论，我们可得是平面BDE的一个法向量，再求出直线A1B的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到A1B与平面BDE所成角的正弦值的大小（本小题满分12分）现有4人去旅游，旅游地点有A、B两个地方可以选择但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里琨，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地 （I）求这4个人中恰好有1个人去B地的概率； （）求这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率； （）用X、Y分别表示这4个人中去A、B两地的人数，记求随机变量亭的分布列与数学期望【答案】（1）
11、;（2）;(3)见解析 【解析】【知识点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式K4 K5 K6解析：（1）依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去A地旅游”为事件Ai（i=0，1，2，3，4）（2分）这4个人中恰有1人去A地游戏的概率为（4分）（2）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=A3A4，（8分）（3）的所有可能取值为0，3，4，（10分）的分布列是034P（12分）【思路点拨】（1）依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地的人数的概率为，由此能求出这4个人中恰
12、有1人去A地游戏的概率（2）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则B=A3A4，由此能求出这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率（3）的所有可能取值为0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列与数学期望E20. 已知数列an的前n项和Sn，a1=，Sn+（n2）（1）计算S1，S2，S3，猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明；（2）设bn=，数列的bn的前n项和为Tn，求证：Tn参考答案：考点：数学归纳法；数列与不等式的综合 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）利用已知条件计算S1，S2，S3，猜想Sn的表达式，然后用数学归纳法证明步骤证明即可；（
13、2）化简bn=，利用裂项法求解数列的bn的前n项和为Tn，即可证明Tn解答：（本小题满分12分）解：（1）因为an=SnSn1（n2），所以，由此整理得，于是有：，猜想：证明：当n=1时，猜想成立假设n=k时猜想成立，即，那么，所以当n=k+1时猜想成立，由可知，猜想对任何nN*都成立（2）由（1），于是：，又因为，所以点评：本小题主要考查利用数学归纳法解决有关于数列的问题，虽存在着一定的难度，但是考试大纲规定考查内容，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求21. 已知函数f（x）=（其中a为常数）（）当a=0时，求函数的单调区间；（） 当0a1时，设函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，且x1x2x3证明：x1+x3参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：（）求导数，利用导数不等式求单调区间（）利用导数结合函数f（x）的3个极值点为x1
