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1、2020年湖南省长沙市简文学校高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的图像恒过点,若角的终边经过点， 则 的值等于（ ） A. B. C. D. 参考答案：C略2. 已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F（x）在区间a，b同时递增或同时递减时，把区间a，b叫做函数y=f（x）的“不动区间”若区间1，2为函数f（x）=|2xt|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）A（0，2B，+）C，2D，24，+）参考答案：C【考点】分段函数的应用【分析】若区间1
2、，2为函数f（x）=|2xt|的“不动区间”，则函数f（x）=|2xt|和函数F（x）=|2xt|在1，2上单调性相同，则（2xt）（2xt）0在1，2上恒成立，进而得到答案【解答】解：函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，F（x）=f（x）=|2xt|，区间1，2为函数f（x）=|2xt|的“不动区间”，函数f（x）=|2xt|和函数F（x）=|2xt|在1，2上单调性相同，y=2xt和函数y=2xt的单调性相反，（2xt）（2xt）0在1，2上恒成立，即1t（2x+2x）+t20在1，2上恒成立，即2xt2x在1，2上恒成立，即t2，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数恒成立
3、问题，指数函数的图象和性质，正确理解不动区间的定义，是解答的关键3. 设aR ，则“a1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件参考答案：D4. 平面向量，共线的充要条件是（）A，方向相同B，两向量中至少有一个为零向量C?R， =D存在不全为零的实数1，2，1+2=参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】分别对A、B、C、D各个选项判断即可【解答】解：对于A：，共线不一定同向；对于B：，是非零向量也可以共线；对于C：当=，时=不成立，故选：D5. 若函数在
4、（，）上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（ ） 参考答案：C略6. 设函数在(0，+)内有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数，恒有，则（ ） AK的最大值为 BK的最小值为CK的最大值为2 DK的最小值为2参考答案：B略7. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线(sin Asin B)sin Bsin C上则角C的值为 （ ）A B C D 参考答案：D8. 下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是( )Ay=By=（x1）2Cy=2xDy=log0.5（x+1）参考答案：A【考点】对数函数的单调性与特殊点 【专题】函数的性质及应用【分析】根据基本初等
5、函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论【解答】解：由于函数y=在（1，+）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2x在（0，+）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（1，+）上是减函数，故不满足条件，故选：A【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题9. 已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的表面积为（ ）A BC D参考答案：A【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2由三视图得，该几何体为底面和两个侧面为直角边边长为2的等腰直
6、角三角形，另外一个侧面是一个边长为2的等边三角形，故该棱锥的表面积为S=322+(2)2=.【思路点拨】先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用三棱锥的表面积公式求出该几何体的表面积10. 已知向量与不共线，且，若三点共线，则实数满足的条件是（ ）. . 参考答案：【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案解析】C 由，且A、B、D三点共线，所以存在非零实数，使=，即，所以，所以mn=1故答案为C【思路点拨】因为与 共起点A，所以要使A、B、D三点共线，只需存在非零实数，使 =成立即可，代入整理后可得mn的值二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若关于x的方
7、程在时没有实数根，则的取值范围是_参考答案：(，0)略12. 计算 _（为虚数单位）参考答案：略13. 双曲线（p0）的左焦点在抛物线y22px的准线上，则该双曲线的离心率 （ ）A1 B C D 2参考答案：B略14. 等差数列前9项的和等于前4项的和若，则k =_参考答案：法1：有题意知,即，所以，又，所以。法2：利用方程组法求解。15. 已知，是夹角为的两个单位向量， =2， =k+，若?=0，则实数k的值为参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k【解答】解：是夹角为的两个单位向量=解得故答案为：16. 函数在区间
8、上为减函数，则的取值范围为 参考答案：17. 编号为，的四个球放入编号为，的四个盒子中，每个盒子放一个球.若记为球的编号数与盒子编号数相同的盒子数，则 .参考答案：1 ，所以.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知中，角的对边分别为，且满足。（I）求角的大小；（）设，求的最小值。参考答案：解：（I）由正弦定理，有 2分代入得。 4分即。 6分 7分 8分（）， 10分由，得。 11分所以，当时，取得最小值为0， 12分略19. （本小题满分12分）已知函数求的最小正周期和在0,上的最小值和最大值；参考答案：解：.3分=.7分的最小正周期为，.
9、8分，函数取得最小值，最大值为.12分20. （本小题满分12分）如图，ABC是等边三角形，D是BC边上的动点（含端点），记BAD=，ADC=.（1）求的最大值；（2）若，求ABD的面积.参考答案：解：（1）由ABC是等边三角形，得，故，故当时，即D为BC中点时，原式取得最大值.（2）由，得，故，由正弦定理得，故，故.21. （本小题满分12分）已知在区间0，1上单调递增，在区间1，2上单调递减.（1）求a的值；（2）是否存在实数b，使函数的图像与f(x)的图像恰有两个交点，若存在，求出实数b的值；若不存在，说明理由.参考答案：解：（1）在0，1在上单调递增，在1，2上单调递减，（2分）又，（5分）（2），（7分）与的图象恰有两个交点，有两等根且不为0，即 D=16得或有两根，且一根为0，另一根不为0. 综上当时与的图象恰有两个交点（12分）22. 如图，中，两点分别是线段 的中点，现将沿折成直二面角。(1) 求证：； (2) 求直线与平面所成角的正切值。参考答案：解：() 由两点分别是线段的中点，得，为二面角平面角， 。 又 () 连结BE交CD于H，连结AH过点D作于O。，所以为与平面所成角。中， 中，.所以直线与平面所成角的正切值为 。略
