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1、2020年湖南省郴州市永丰中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则AB=（ ）A. B. C. D. 参考答案：B2. 已知，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有 （）ABC D 参考答案：B略3. 若复数，其中是虚数单位，则在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案：，那么，答案B4. 下列说法正确的是A.若，则 B.函数的零点落在区间内 C.函数的最小值为2 D.若，则直线与直线互相平行参考答案：B本题考查命题的真假。若a=
2、1，b=-1，不等式不成立，排除A；，而且函数在区间内单增，所以在区间内存在唯一零点，B正确；令x=-1，则，不满足题意，C错；若，则直线重合，D错；所以选B。5. 已知点满足若的最小值为3，则的值为高考资源网w。w-w*k&s%5￥uA1 B2 C3 D4参考答案：C由各选项知a取正值，设，结合图形易得当直线过点时，取得最小值，故，选C.6. “”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：D略7. 已知变量满足约束条件若恒成立，则实数的取值范围为( )A. (-,-1 B. -1,+) C. -1,1 D. -1,1)参考答案：【知识点】简单线性
3、规划E5C 解析：由题意作出其平面区域，则x+2y5恒成立可化为图象中的阴影部分在直线x+2y=5的上方，则实数a的取值范围为1，1故答案为：1，1【思路点拨】由题意作出其平面区域，则x+2y5恒成立可化为图象中的阴影部分在直线x+2y=5的上方，从而解得8. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜。据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”。在某种玩法中，用an表示解下个圆环所需的移动最少次数，an满足，且，则解下4个环所需的最少移动次数为（ ）A. 7B. 10C. 12D. 22参考答案：A【分析】根据递推关系式，逐步
4、求得的值.【详解】依题意.故选A.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查递推数列求某一项的值，属于基础题.9. 设，其中实数满足且，则的最大值是（A） （B） （C） （D） 参考答案：D10. 如图所示的程序框图的算法思路是一种古老而有效的算法辗转相除法，执行该程序框图，若输入的的值分别为42,30，则输出的 A0B2 C3 D6参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将函数的图像向左平移一个单位后得到的图像，再将的图像绕原点旋转后仍与的图像重合，则_。参考答案：-112. 设复数z满足: z(2i)=4+3i（其中i为虚数单位），则z的模等于 .参考答案
5、：；13. 在ABC中,角A,B,C的对边分别a,b,c,若.则直线被圆所截得的弦长为_. 参考答案：14. 曲线在点处的切线方程为_.参考答案：2x-y+1=0 略15. 九章算术是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V(底面的圆周长的平方高)，则该问题中圆周率的取值为_(注：一丈10尺)参考答案：316. 已知是所在平面内一点，现在内任取一点，则该点落在内的概率是 参考答案：如
6、图：，可得,所以点到的距离是点到的距离的，.17. 若复数(i为虚数单位)，则使的的可能值为_参考答案：答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点，点F2在线段PF1的中垂线上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角互补，求证：直线过定点，并求该定点的坐标参考答案：19. （本小题满分12分）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p0）上。（1） 求抛物线E的方程；（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直
7、线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。参考答案：20. 已知椭圆：的离心率为，点为左焦点，过点作轴的垂线交椭圆于、两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）在圆上是否存在一点，使得在点处的切线与椭圆相交于、两点满足？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）又,椭圆的方程为：（2）假设存在点，使得.当的斜率不存在时，:或与椭圆：相交于，两点，此时或当直线的斜率不存在时不满足.当直线的斜率存在时，设：则直线与椭圆相交于，两点，化简得设，又与圆相切，显然不成立，在圆上不存在这样的点使其成立.21. 如图，点C是以AB为直径的圆O上不与A、B重合的一个动点，S是圆O所在
8、平面外一点，且总有SC平面ABC，M是SB的中点，AB = SC = 2（）求证：OMBC；（）当四面体SABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为，二面角BSAC的大小为，分别求的值参考答案：（）略（），试题分析：（）证明线线垂直，往往通过证明线面垂直得出.本题即是通过证明BC平面SAC，从而得出OMBC的；（）先找出四面体SABC的体积最大时成立的条件，进而找出线面角及二面角的平面角，放在三角形中求出的值.也可建立空间直角坐标系，利用空间向量来解决.试题解析：()证：由于C是以AB为直径的圆上一点，故ACBC又SC平面ABC，SCBC，BC平面SAC，BCSA2分O、M分别为AB
9、、SB的中点，故OM平行于SAOMBC4分()解：四面体SABC的体积当且仅当时取得最大值6分方法一取BC的中点N，连接MN、AN，则MN与SC平行，MN平面ABC，9分作CHSA垂足为H，连接BH，由()知BCSA，SA平面BCH，BHSA故，在中，,12分方法二以分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则C(0，0，0)，A( ，0，0)，B(0，0)，S(0，0，2)进而M(0，1)，是平面ABC的一个法向量，故，9分设v = (x，y，z)是平面SAB的一个法向量，则,即故可取，由（1）知，是平面SAC的一个法向量故12分考点：空间点、线、面的位置关系22. （2017?深圳一模）已知函
10、数f（x）=（ax+1）lnxax+3，aR，g（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数（1）讨论g（x）的单调性；（2）当ae时，证明：g（ea）0；（3）当ae时，判断函数f（x）零点的个数，并说明理由参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断【分析】（1）求导，由导数与函数单调性的关系，即可求得g（x）的单调区间；（2）由g（ea）=a2+ea，构造函数h（x）=x2+ex，求导，当xe时，h（x）0，函数单调递增，即可求得h（x）=x2+exe2+ee0，（3）由（1）可知，函数最小值为g（）=0，故g（x）恰有两个零点x1，x2，则可判断x1，x2是函数
11、的极大值和极小值，由函数零点的存在定理，求得函数f（x）只有一个零点【解答】解：（1）对函数f（x），求导得g（x）=f（x）=alnx+，g（x）=，当a0时，g（x）0，故g（x）在（0，+）上为减函数；当a0时，（x）0，可得x，故g（x）的减区间为（0，），增区间为（，+）；（2）证明：g（ea）=a2+ea，设h（x）=x2+ex，则h（x）=ex2x，易知当xe时，h（x）0，函数h（x）单调递增，h（x）=x2+exe2+ee0，g（ea）0；（3）由（1）可知，当ae时，g（x）是先减再增的函数，其最小值为g（）=aln+a=a（ln+1）0，而此时g（）=1+，g（ea）0，
12、且ea，故g（x）恰有两个零点x1，x2，当x（0，x1）时，f（x）=g（x）0；当x（x1，x2）时，f（x）=g（x）0；当x（x2，+）时，f（x）=g（x）0，f（x）在x1，x2两点分别取到极大值和极小值，且x1（0，），由g（x1）=alnx1+=0，知a=，f（x1）=（ax1+1）lnx1ax1+3=lnx1+2，lnx10，lnx1+2，但当lnx1+=2时，lnx1=，则a=e，不合题意，所以f（x1）0，故函数f（x）的图象与x轴不可能有两个交点函数f（x）只有一个零点【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数的单调性及及的关系，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题
