章末知识整合一、数形结合思想“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们的一种普遍思维习惯在数学上的具体表现 数形结合一般包括两个方面， 即以“形”助“数”和以“数”解“形”解析几何研究问题的主要方法坐标法，就是数形结合的典范在本章的学习中主要体现在以下两个方面：(1)直线的方程中有很多概念，如距离、倾斜角、斜率等都很容易转化成“形”，因此题目中涉及这些问题时可以尝试用数形结合来解决(2)与圆有关的最值问题、直线与圆的交点个数、圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想例 1已知圆 C1：x2y24 和圆 C2：x2(y8)24，直线 y52xb 在两圆之间 (不与圆相交或相切 )，求实数 b 的取值范围解：画出示意图如图所示，直线 y52xb，即5x2y2b0.当直线与圆 C1相切时，|2b|542，解得 b 3；当直线与圆 C2相切时，|162b|542，解得 b5 或 b11.结合图形可知 3b5. 规律总结圆是一种几何特征非常明显的图形在解圆的有关问题时， 一般要根据题意在平面直角坐标系中画出图形，然后充分利用图形解决问题变式训练 1 设 点 P(x ， y)是 圆 x2(y4)2 4 上 的任 意 一 点， 则（x1）2（y1）2的最大值为 _解析： 因为点 P(x，y)是圆 x2(y4)24 上的任意一点，所以（x1）2（y1）2表示点 (1，1)与该圆上任意一点的距离易 知 点 (1， 1) 在圆x2 (y 4)2 4 外 ，如 图 所 示 ，所 以（x1）2（y1）2的最大值为（10）2（14）22 262.答案：2622已知点 A(3，1)，在直线 yx 和 y0 上各找一点 M 和 N，使AMN 的周长最短，并求出最短周长解：由点 A(3，1)及直线 yx，可求得点 A 关于 yx 的对称点B(1，3)，同理可得点 A 关于 y0 的对称点 C(3，1)，如图所示则 AM ANMNBMCNMN BC，当且仅当 B，M，N，C 四点共线时，AMN 的周长最短，为 BC2 5.由点 B(1，3)，C(3，1)可得直线 BC 的方程为 2xy50.由2xy50，yx，得x53，y53.故点 M 的坐标为53，53.对于 2xy50，令 y0，得 x52，故点 N 的坐标为52，0 .故点 M53，53与点 N52，0 即所求，此时AMN 的周长最短， 且最短周长为 2 5.二、分类讨论思想分类讨论思想是数学的基本思想之一，其实质就是把整体问题化为部分问题，从而增加题设的条件来解决问题例 2过点 P(1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在 x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程解： (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在 x 轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时， 设其斜率为 k，则两条直线的方程分别为 yk(x1)，ykx2.令 y0，分别得 x1，x2k.由题意 12k1，即 k1.所以这两条直线的方程分别为yx1，yx2，即 xy10，xy20.综上可知，所求的直线方程分别为x1，x0 或 xy10，xy20. 规律总结研究直线要善于从斜率的角度去考虑问题，即从斜率存在和斜率不存在两个方面分类讨论 这是隐含在题中的一个分类因素，易被忽视，也是犯 “对而不全 ”错误的根源之一变式训练 3已知直线 l：4xysin 10，求它的斜率及斜率的取值范围解：直线 l 的方程中 y 的系数是 sin ，而 sin 的值域是 1，1，sin 的值可取零，但 sin 0 的直线的斜率不存在，故视sin 为研究对象，分类讨论(1)当 sin 0，即 k( kZ)时，直线 l 的斜率不存在，倾斜角 2；(2)当 sin 0，即 k( kZ)时，直线 l 的斜率 k4sin ? k 的取值范围为 (，44，)三、函数与方程思想函数与方程思想在圆中应用较广泛，求圆的方程、直线与圆的交点及圆与圆的交点等都要用到函数与方程思想例 3已知过点 (3，0)的直线 l 与圆 x2y2x6y30 相交于 P，Q 两点，且 OPOQ(其中 O 为坐标原点 )，求直线 l 的方程分析： 已知 OPOQ，若设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x2y1y20，由点 P，Q 在圆及直线 l 上，可联立方程，借助根与系数的关系求解解：设直线 l 的方程为 xay30，由题意知 a0.由x2y2x6y30，xay30，(*)消去 y，得 x23xa2x63xa30，即(a21)x2(a26a6)x3a218a90，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x23a218a9a21.由方程组 (*)消去 x，得(3ay)2y23ay6y30，即(a21)y2(7a6)y150，所以 y1y215a21.依题意知 OPOQ，所以 x1x2y1y20.将代入，得3a218a9a2115a210.整理，得 a26a80，解得 a2 或 a4，经检验知 a2 和 a4 都满足题意，所以直线 l 的方程为 x2y30 或 x4y30. 规律总结函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征，建立各变量间的函数关系通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决方程的思想多用于曲线方程的求解和两直线位置关系的判定变式训练 4已知直线 l：y12x 和两个定点 A(1，1)，B(2，2)，问直线 l上是否存在一点P，使得|PA|2|PB|2取得最小值，若存在，求出点P的坐标和 |PA|2|PB|2的最小值；若不存在，说明理由解：假设存在一点P，使得 |PA|2|PB|2取得最小值，设此点为P(2x0，x0)，则|PA|2|PB|2(2x01)2(x01)2(2x02)2(x02)210 x2018x010.因为 x0R，所以当 x0910，即点 P 的坐标为95，910时，PA2PB2可取得最小值，且最小值为1910. 四、转化与化归思想把代数问题几何化、几何问题代数化，可使较复杂问题直观化、具体化、简单化，从而使问题快速得到解决例 4已知实数 x，y 满足 yx22x2(1x1)，试求y3x2的最大值和最小值解： 设 yx22x2(1x1)表示曲线段 AB.由y3x2的几何意义可知，它表示定点P(2，3)和曲线段 AB 上任一点 (x，y)的连线的斜率 k，如图所示，可知kPAkkPB.由已知可得 A(1，1)，B(1，5)，所以 kPA1（ 3）1（ 2）43，kPB5（3）1（2）8.所以43k8，故y3x2的最大值是 8，最小值是43. 规律总结对于形如 ky2y1x2x1的分式函数 ycdxabx的值域问题，可利用定点与动点的相对位置， 转化为求直线斜率的范围， 利用数形结合进行求解变式训练 5已知实数 x，y 满足 xy10，求 x2y22x2y2 的最小值解：原式可化为 (x1)2(y1)2，其几何意义为点P(x，y)和点Q(1，1)间距离的平方，而点P(x，y)在直线 xy10 上设 d 为点 Q 到直线 xy10 的距离，由|PQ|d 得（x1）2（y1）2|111|2，即 x2y22x2y292，故所求最小值为92. 。
