理科数学 -第 1 页2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5 页， 23 题（含选考题） 全卷满分150 分考试用时120 分钟注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效5考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若1zi ，则22zzA0B1C2D22设集合240Ax x,20Bxxa,且21ABxx,则 aA4B2C2D43埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A514B512C514D5124已知 A为抛物线2:2(0)Cypx p上一点，点A到 C 的焦点的距离为12 ，到 y 轴的距离为9 ，则 pA2B3C6D95某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度 x （单位：C）的关系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据,1,2,20iix yi得到下面的散点图：由此散点图， 在 10 C 至 40 C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度 x 的回归方程类型的是理科数学 -第 2 页A yabxB2yabxCxyabeDlnyabx6函数43( )2f xxx 的图像在点1,1f处的切线方程为A21yxB21yxC23yxD21yx7设函数( )cos6f xx在,的图像大致如下图，则( )f x 的最小正周期为A109B76C43D32825()()yxxyx的展开式中33x y 的系数为A5B10C15D209已知(0,) ，且 3cos28cos5 ，则 sinA53B23C13D5910已知A ， B ， C 为球 O 的球面上的三个点，1O 为ABC的外接圆若1O 的面积为4，1ABBCACOO ，则球 O 的表面积为A 64B 48C 36D 3211已知22:2220Mxyxy，且直线: 220lxy， P 为 l 上的动点，过点P 作M 的切线 PA ， PB，切点为A ， B ，当ABPM最小时，直线AB 的方程为A 210 xyB 210 xyC 210 xyD 210 xy12若242log42logabab，则A2abB2abC2abD2ab二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13若,x y 满足约束条件2201010 xyxyy，则7zxy 的最大值是 _14设,a b 为单位向量，且1ab，则ab_15已知 F 为双曲线2222:1xyCab（0,0ab）的右焦点，A为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且BF 垂直于 x 轴若 AB 斜率为 3，则 C 的离心率为 _16如图，在三棱锥PABC 的平面展开图中1AC，3ABAD， ABAC ， ABAD ，30CAE，则 cosFCB_理科数学 -第 3 页三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分17 （12 分）设na是公比不为1 的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项（ 1）求na的公比；（ 2）若11a，求数列nna的前项和18 （12 分）如图， D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AEAD ABC是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，66PODO （ 1）证明： PA平面 PBC ；（ 2）求二面角BPCE 的余弦值19 （12 分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为12（ 1）求甲连胜四场的概率；（ 2）求需要进行第五场比赛的概率；（ 3）求丙最终获胜的概率20（12 分） 已知,A B 分别为椭圆222:1(1)xEyaa的左、右顶点， G 为 E 的上顶点，8AG GB P为直线6x上的动点，PA 与 E 的另一交点为C ， PB与 E 的另一交点为D （ 1）求 E 的方程；（ 2）证明：直线CD 过定点21 （12 分）已知函数2xfxeaxx （ 1）当1a时，讨论fx 的单调性；（ 2）当0 x时，3112fxx，求 a 的取值范围理科数学 -第 4 页（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cossinkkxtyt（ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos16sin30 ，（ 1）当1k时，1C 是什么曲线？（ 2）当4k时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标23选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知函数3121fxxx（ 1）画出 yfx 的图象；（ 2）求不等式1fxfx的解集理科数学参考答案标准版-第 1 页参考答案一、选择题1【答案】D.【解析】22212 12zzii, 2222zz，故选D.2.【答案】.B【解析】240Ax x22xx,20Bxxa2ax x,21ABxx, 12a, 2.a故选.B3. 【答案】.C【解析】如图，设金字塔对应的正四棱锥的高为h， 金字塔斜面上的高为h， 金字塔底面边长为a，则有2222122ha hhhh化简得224210hhaa，解得514ha. 故选.C4. 【答案】.C【解析】设点,A x y，由点 A y 轴的距离为9 得9x，根据抛物线定义，由 A到 C 的焦点的距离为12 得122px，即6122p，解得6.p故选.C5. 【答案】.D【解析】由题中散点图可知，大致分布在一条递增的对数型函数图象附近，故选.D6. 【答案】.B【解析】3246fxxx, 12kf, 又1121f,由点斜式方程可得所求切线方程为121yx, 即21yx. 故选.B7. 【答案】.C【解析】根据函数图象得409f，4cos096，4962kkZ，解得394kkZ，又22TT，242，解得12，32，最小正周期243T. 故选.C8. 【答案】.C【解析】5xy的通项为5150,1,5rrrrTC xyr，hha理科数学参考答案标准版-第 2 页1r时，2143355yC x yx yx；3r时，32333510 xC x yx y.33x y项的系数为51015. 故选.C9. 【答案】.A【解析】根据余弦倍角公式，3cos28cos5 可化为23cos4cos40，解得cos2（舍）或2cos3.0,，5sin3. 故选.A10. 【答案】.A【解析】不妨设ABa，1O的半径为r，球O的半径为R，依题意有24r，2r，又133rO Aa，2 3a,222114ROOO A，球 O 的表面积为2464R. 故选.A11. 【答案】.D【解析】M方程化为标准方程得：22114xy，四边形PAMB的面积112222PAMSPMABSPA AM2224PAPM当且仅当PM最小时ABPM最小，此时PMl，又:220lxy，11:22PMyx，易得PM与直线l的交点坐标1,0P，过1,0P作M的切线所得切点所在直线方程为210 xy，故选.D12. 【答案】.B【解析】22422log42log2logabbabb，2222222log2log 221logbbbbbb2222log2logabab，构造函数22logxfxx，易知fx在0,单调递增，由2fafb得2ab，故选.B二、填空题13.【答案】1.【解析】如图，易知当直线7zxy 经过直线220 xy与10 xy的交点1,0时，z取最大值，max1701z.14.【答案】3.xy10y220 xy10 xy1,0O理科数学参考答案标准版-第 3 页【解析】222221abababa b, 12a b,22243abababa b, 3ab.15.【答案】2.【解析】由题意得,0 ,0A aF c，BF为通径长的一半，2,bB ca，又2213bbcaakecaa caa，离心率2e.16.【答案】1.4【解析】根据题意得26BDAB，,D E F三点重合，3AEAD，6BFBD，在ACE中，由余弦定理得2222cosCEACAEAC AEACE13213cos3011CECF，在BCF中，根据余弦定理得2221cos24BCCFBFFCBBC CF三、解答题17. 解： （1）设na的公比为q，由题设得1232aaa，即21112aa qa q220，解得1q（舍去）或2q.na的公比为2.（2）记nS为nna的前n项和，由（1）及题设可知12nna，11222nnSn2222212nnSn由得21312222nnnSn1223nnn312199nnnS18. 解： （1）设DOa，由题设可得理科数学参考答案标准版-第 4 页63,63POa AOa ABa，22PAPBPCa，222PAPBAB，PAPB，又222PAPCAC，PAPC，PA平面PBC（2）以O为坐标原点,OE方向为y轴正方向,OE为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设可得3 10,1,0 ,0, 1,0 ,022EAC，20,0,2P，312,0,0.1,222ECEP。
设 m, ,x y z是平面PCE的一个法向量，则00m EPm EC即20231022yzxy，取 m3,1,23,由（ 1）知20,1,2AP是平面PCB的一个法向量，记 nAP，则2 5cos,5n mn mnm.二面角BPCE的余弦值为2 55.19. 解： （1）甲连胜四场的概率为116,（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为18.需要进行第五场比赛的概率为11131161684.（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最xyz理科数学参考答案标准版-第 5 页终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分布为11 1,16 8 8.丙最终获胜的概率为11117=8168816.20. 解： （1）由题设得,0 ,0 ,0,1AaB aG，,1 , 1AGaGBa由8AG GB得218a，即3a,E的方程为2219xy.（2）设1122,6,C xyD xyPt.若0t，设直线CD的方程为xmyn，由题意可知33n.由于直线PA的方程为39tyx，所以1139tyx.直线PB的方程为33tyx，2233tyx.1221333yxyx.222219xy，2222339xxy，整理得12122733y yxx，即22121227330my ym nyyn将xmyn代入2219xy得2229290mymnyn12229mnyym，212299ny ym，代入 得222227923390mnm nmnnm解得3n（舍去）。