专题二压轴解答题第 12 关以导数为背景的解答题【名师综述】极值点不同于零点，极值点不仅导数值为零（中学只研究可导函数），而且在其附近导数值要变号因此以极值为背景的解答题，不仅要考虑等量关系，更要注意不等量关系，这也是考查分类讨论思想的一个常见的载体【典例解剖】类型一求函数极值或单调区间或最值问题典例 1 （2020 上海复旦附中高三月考）考虑下面两个定义域为（0，+）的函数 f （x） 的集合：1|fx对任何不同的两个正数12xx、， 都有2112120 x fxx fxxx，2=|fx对任何不同的两个正数12xx、，都有222112120 x fxx fxxx（1）已知32( )2f xxaxbx，若1( )f x，且2( )f x，求实数a和b的取值范围（2）已知0abc，1( )f x且( )f x 的部分函数值由下表给出：比较2dt与 4 的大小关系（3）对于定义域为D的函数( )g x，若存在常数k，使得不等式( )g xk对任何xD都成立，则称k为( )()g x xD的上界，将2中所有存在上界的函数( )f x 组成的集合记作T，判断是否存在常数M，使得对任何( )f xT和(0,)x，都有( )f xM，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由典例 2 （2020 上海浦东实验学校月考）经过多年的运作，“ 双十一 ” 抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销经调查测算，该促销产品在“ 双十一 ” 的销售量p 万件与促销费用x 万元满足231px（其中0 xa，a 为正常数）已知生产该产品还需投入成本102 p万元（不含促销费用） ，每一件产品的销售价格定为204p元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值【举一反三】1（2020 上海高桥中学高三开学考试）已知定义在区间1,2上两个函数( )f x 和( )g x，2( )21f xxax，1a( )mg xxx，xR（1）求函数( )f x 的最大值( )m a；（2）若( )yg x在区间1,2单调，求实数m的取值范围；（3）当4m时，若对于任意11,2x，总存在21,2x，使12()()f xg x恒成立，求实数a的取值范围2已知函数21lnfxxaxg xxa aR，当1a时，求函数h xfxg x的极值；若存在与函数fx，g x的图象都相切的直线，求实数a的取值范围类型二由极值确定参数取值范围问题典例3若函数 ?= ?(?) 在?= ?0处取得极大值或极小值，则称?0为函数 ?= ?(?) 的极值点设函数?(?) =?3- ?2+ 1(?) （1）若函数 ?(?) 在(0，1)上无极值点，求? 的取值范围；（2）求证：对任意实数? ，在函数 ?(?) 的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当? = 3时，若函数 ?(?) 的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问；这样的平行切线共有几组？请说明理由【举一反三】已知函数2ln1fxaxxxaR恰有两个极值点12,x x，且12xx（1）求实数a的取值范围；（2）若不等式12lnln1xx恒成立，求实数的取值范围类型三利用极值证明不等式问题典例 4设 ?，函数 ?(?) = ?2+ ?，?(?) = ?，?(?)为?(?) 的导函数（1）若曲线 ?= ?(?)与曲线 ?= ?(?) 相切，求实数 ?的值；（2）设函数 ?(?) =?(?)?(?)，?(0，1)，若?(?0)为函数 ?(?) 的极大值，且 ?(?，?+ 1)，?求 ? 的值；求证：对于?(?，?+ 1)，?(?) 0)(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意x 0，都有f(x) 0 成立；(2) 若函数y = f(x) 恰好在x = x1和 x = x2两处取得极值，求证：?1+?22 ln a【举一反三】设函数3( )(1)f xxaxb ，Rx，其中Rba,(I)求)(xf的单调区间；(II) 若)(xf存在极值点0 x，且)()(01xfxf，其中01xx，求证：1023xx；【精选名校模拟】1 （ 2020上海交大附中期中考试）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位： cm）满足关系： C（x）=(010),35kxx若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元设f（x）为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和（）求 k 的值及 f(x)的表达式（）隔热层修建多厚时，总费用f(x) 达到最小，并求最小值2已知函数2112fxaa x，实数aR且0a（1）设0mn，判断函数fx在,m n上的单调性，并说明理由；（2）若不等式22a fxx对1x恒成立，求a的范围3某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足24xP（其中0 x a剟，a为正常数）已知生产该产品还需投入成本16 PP万元（不含促销费用） ，产品的销售价格定为204p元 / 件（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？4 （ 2020上海交大附中月考）已知函数2fxax2ax2(a0)在区间1,4上的最大值为101求 a的值及f x的解析式；2设fxg xx，若不等式xxg 3t 30在x0,2上有解，求实数t 的取值范围5 （ 2020上海华师大二附中高三月考）已知函数220fxaxaxb a在区间1,3上的最大值为5，最小值为1（1）求a、b的值及fx的解析式；（2）设fxg xx，若不等式330 xxgt在0,2x上有解，求实数t的取值范围6 （ 2020上海二中高三期中）已知函数2( )xaxbf xxa，0,)x单调递增，其中0a，0b，记( , )M a b为函数()f x 的最小值（1）求(1,0)M的值；（2）当1a时，若函数( )f x 在1,)上单调递增，求b的取值范围；（3）求a的取值范围，使得存在满足条件的b，满足( , )1M a b7 （ 2020上海嘉定区期中考试）已知函数1( )log1amxf xx是奇函数（其中1a）（1）求实数m 的值；（2）已知关于x 的方程log( )(1)(7)akf xxx在区间2,6上有实数解，求实数k 的取值范围；（3）当( ,2 2)xn a时，( )f x 的值域是(1,)，求实数n 与 a的值8 （ 2020上海浦东复旦附中月考）某种商品原来毎件售价为25 元，年销售8 万件(1)据市场调查，若价格毎提高1 元，销售量将相应瑊少2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到x元，公司拟投入216006x万元作为技改费用，投入50 万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量a至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价9 （ 2020上海延安中学期末考试）把一段底面直径为40 厘米的圆柱形木料据成横截面为矩形的木料，该矩形的一条边长是x厘米，另一条边长是y厘米（1）试用解析式将y表示成x的函数，并写出函数的定义域；（2）若该圆柱形木料长为100 厘米，则怎样据才能使矩形木料的体积最大？并求出体积的最大值10 （2020上海闵行中学期中考试）已知向量2(3,1)axv，( ,)bxyv（其中实数x和y不同时为零） ，当| 2x时，有 abvv，当| 2x时，avbv（1）求函数式( )yfx；（2）求函数( )( )f xF xx的单调递减区间；（3）若对任意(, 22,)xU，都有230mxxm，求实数m的取值范围11 （2020 上海二中期末考试）已知函数2fxx，2h xx（1）令,x xtyfxxt，当2x时4y，求实数t的取值范围；（2）令1,02,0fxxyah xx的值域为,1，求实数a的取值范围；（3）已知函数在F x，G x数集D上都有定义，对任意的12,x xD，当12xx时121212F xF xG xG xxx或122112F xF xG xG xxx成立，则称G x是数集D上F x的限制函数；令函数F xfxg x，求其在0,D上的限制函数G x的解析式，并求G x在0,D上的单调区间12 （2020上海格致中学高三月考）对于两个定义域相同的函数( )f x 、( )g x，若存在实数m、n使( )( )( )h xmf xng x，则称函数( )h x是由 “ 基函数( )f x 、( )g x” 生成的（1）2(3)f xxx和( )34g xx生成一个偶函数( )h x，求(2)h的值；（2）若2( )231h xxx由2( )f xxax，( )g xxb（,a bR且0ab）生成，求2ab的取值范围；（3）试利用 “ 基函数4( )log (41)xf x，( )1g xx” 生成一个函数( )h x，使( )h x满足下列条件：是偶函数；有最小值1，请求出函数( )h x的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）13 （2020上海交大附中期末考试）已知函数2(2)(3)2f xaxaxa（a 为负整数）yfx的图像经过点(2,0)()mmR（1）求fx的解析式；（2）设函数2g xbx，若g xfx在1,3x上解集非空，求实数b 的取值范围；（3）证明：方程1( )0f xx有且仅有一个解14 （2020 上海交大附中高三期末）交大设计学院植物园准备用一块边长为4 百米的等边 ABC 田地 (如图 )建立芳香植物生长区、植物精油提炼处与植物精油体验点田地内拟建笔直小路MN、AP，其中 M、N 分别为 AC、 BC 的中点，点P 在 CN 上规划在小路MN 和 AP 的交点 O(O 与 M、N 不重合 )处设立植物精油体验点， 图中阴影部分为植物精油提炼处，空白部分为芳香植物生长区，A、N 为出入口 (小路宽度不计)为节约资金，小路MO 段与 OP 段建便道，供芳香植物培育之用，费用忽略不计，为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4 万元，小路ON 段的建造费用为每百米3 万元(1)若拟建的小路AO 段长为7百米，求小路ON 段的建造费用；(2)设 BAP=，求cos的值，使得小路AO 段与 ON 段的建造总费用最小，并求岀最小建造总费用(精确到元 )15 （2020 上海宝山区期末考试）对于三个实数a、b、k，若22(1)(1)1abk abab成立，则称a、b具有 “ 性质k” （1）试问：x xR，0 是否具有 “ 性质 2” ；tany（124y） ， 0是否具有 “ 性质 4” ；（2）若存在03,2 4x及01,22t，使得00001sin22sin0 xxtmt成立，且0sinx，1 具有 “ 性质 2” ，求实数m的取值范围；（3）设1x，2x，2019x为 2019 个互不相同的实数，点(,)mnxx（,1,2,2019m n）均不在函数1yx的图象上，是否存在, i j ij，且,1,2,2019i j，使得ix、jx具有 “ 性质 2018” ，请说明理由16 （2020上海复旦附中高三月考）已知函数( )af xxx， （0 x） ，a 为实数（1）当=-1a时，判断函数( )yfx在(1,)上的单调性，并加以证明；（2）根据实数a 的不同取值，讨论函数( )yf x的最小值17 （2020 上海青浦区二模）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B 两地， A 处位于东西方向的直线 MN 上的陆地处， B 处位于海上一个灯塔处，在 A 处用测角器测得3ta。