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1、2022年湖南省衡阳市 县栏垅中学高三数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的周长为（ ）A 15 B16 C. 17 D18参考答案：D2. “a4”是“方程x2+ax+a=0有两个负实数根”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】方程x2+ax+a=0有两个负实数根，则，解出即可判断出结论【解答】解：方程x2+ax+a=0有两个负实数根，则，解得a4，“a4”是“方程x2+ax+a=0有两个负实数根
2、”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、根与系数的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3. 要得到函数 的图象，需要把函数 的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位参考答案：C4. 将直线沿平移后，所得直线与圆相切实数的值为 A-3 B7 C-3或7 D1或11参考答案：C5. 已知向量a(2,1)，b(x，2)，且ab与2ab平行，则实数x的值等于()A6 B6 C4 D4参考答案：C略6. 已知数列为等比数列，则的值为 A B C D参考答案：D在等比数列中，所以公
3、比，又，解得或。由，解得，此时。由，解得，此时，综上，选D.7. 利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆 内的共有( )个 A2 B3 C 4 D5参考答案：B略8. 平面向量a与b的夹角为，则 ( )A B C 4 D12参考答案：B9. 设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考答案：B【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论【解答】解： =i（1+i）=1+i，对应复平面上的点为（1，1），在第二象限，故选：B【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生
4、的计算能力，比较基础10. 复数，i是虚数单位，则z的虚部为（ ）A.1 B.4 C.1 D. 4参考答案：C由题意，复数，所以复数的虚部为，故选C.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=m参考答案：100【考点】解三角形的实际应用【专题】计算题；解三角形【分析】设此山高h（m），在BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在ABC中利用正弦定理求得h【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在AB
5、C中，BAC=30，CBA=105，BCA=45，AB=600根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解12. 设在正项数列an中，a12+=4n3，则数列的前2n项和为参考答案：【考点】数列的求和【分析】利用递推关系、“裂项求和”方法即可得出【解答】解：a12+=4n3，n=1时， =1，a10，解得a1=1，n2时，a12+=4n7，=4，an0，解得an=2n=则数列的前2n项和=+=故答案为：13. 已知函数f（x
6、）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中dcba0，则abcd的取值范围是 参考答案：（21，24）【考点】对数函数图象与性质的综合应用 【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得log3a=log3b=c2c+8=d2d+8，可得 log3（ab）=0，ab=1结合函数f（x）的图象，在区间3，+）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24由此求得abcd的范围【解答】解：由题意可得log3a=log3b =c2c+8=d2d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1结合函数f（x）的图象，在区间3，+
7、）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24故有 21abcd24，故答案为（21，24）【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题14. 若a，则的最小值为 .参考答案：4 ，当且仅当时取等号.15. 设是一元二次方程的两个虚根.若，则实数 参考答案：16. 定义在R上的偶函数满足： 对任意都有成立； ； 当时，都有 若方程在区间上恰有3个不同实根，则实数的取值范围是 。参考答案：17. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，与其准线交于点，且，则 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，
8、证明过程或演算步骤18. 已知函数（）若函数f(x)在处的切线平行于直线，求实数a的值；（）判断函数f(x)在区间上零点的个数；（）在（）的条件下，若在上存在一点x0，使得成立，求实数m的取值范围参考答案：（）,函数在处的切线平行于直线. （）令 ， 得 记 ， 由此可知在上递减，在上递增， 且 时 故时， 在无零点时， 在恰有一个零点时， 在有两个零点 （）在上存在一点,使得成立等价于函数在上的最小值小于零., 当时,即时, 在上单调递减,所以的最小值为,由可得,； 当时,即时, 在上单调递增,所以的最小值为,由可得； 当时,即时,可得的最小值为此时, 不成立. 综上所述:可得所求的范围是或
9、19. （本小题满分12；分）如图所示，由正三棱柱与正四面体D- ABC组成的几何体中，是正三角形的中心(I)求证：平面；()求平面ACD与平面所成的二面角（锐角）的余弦值参考答案：20. 在中，角的对边分别为，面积为，已知.(1)求证：；(2)若，求.参考答案：(1)由条件：，由于：，所以：，即：.(2)，所以：.，.又：，由，所以：，所以：.21. 已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（）若a=2，求证：函数f（x）在（1，+）上是增函数；（）求函数f（x）在上的最小值及相应的x值参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【专题】计算题；证明题【分析
10、】（）将a=2代入，然后求出导函数f（x），欲证函数f（x）在（1，+）上是增函数只需证导函数在（1，+）上恒大于零即可；（）先求出导函数f（x），然后讨论a研究函数在上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值【解答】解：（）当a=2时，f（x）=x22lnx，当x（1，+），故函数f（x）在（1，+）上是增函数（），当x，2x2+a若a2，f（x）在上非负（仅当a=2，x=1时，f（x）=0），故函数f（x）在上是增函数，此时min=f（1）=1若2e2a2，当时，f（x）=0；当时，f（x）0，此时f（x）是减函数；当时，f（x）0，此时f（x）是增函数故
11、min=若a2e2，f（x）在上非正（仅当a=2e2，x=e时，f（x）=0），故函数f（x）在上是减函数，此时min=f（e）=a+e2综上可知，当a2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当2e2a2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题22. (本小题满分12分)在ABC中，已知A=， (I)求cosC的值； ()若BC=2，D为AB的中点，求CD的长参考答案：解：（）且， 2分 4分 6分 （）由（）可得 8分由正弦定理得，即，解得 10分 在中，所以略
