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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -第五节基本初等函数man =11（ a0， m、n 都是正整数， n 1） .=mn am【热点聚焦】基本初等函数是高中数学函数部分由抽象到详细一个过渡，在历届的高考试题中对此部分均 会作重点考查；与基本初等函数有关的试题，除了要把握基本初等函数的性质以外，仍应留意数学方法的运用；a n2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数y=ax（ a 0 且 a 1）叫做指数函数.（2）指数函数的图象【基础学问】yy= ax a 1）y=a xy一二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：一般式： y=ax
2、2 +bx+c；两根式： y=a（ x x1）（ x x2）；顶点式： y=a（x x0） 2+n.1 0a111（2）当 a 0， f（ x）在区间 p， q上的最大值为M ，最小值为m，令 x0=（p+q） .2底数互为倒数的两个指数函数的图O象关于y 轴x对称 .Ox如b 2ap，就 f（ p） =m， f（ q）=M ；（3）指数函数的性质定义域： R .值域：（ 0，） .过点（ 0， 1），即 x=0 时， y=1.如 pb x02a，就 f（b ） =m， f（ q） =M ；2a当 a 1 时，在 R 上是增函数；当0 a 1 时，在 R 上是减函数 .三对数与对数函数如 x0
3、 b q，就 f（ p）=M ， f（2abb ）=m；2a1.对数（1）对数的定义：假如 ab=N（a 0， a1），那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作log aN=b.如q，就 f（ p） =M ，f（ q） =m.2a二指数与指数函数1.指数（1） n 次方根的定义（2）指数式与对数式的关系：ab =NlogaN=b（a 0， a1， N 0） .两个式子表示的a、b、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:如 xn =a，就称 x 为 a 的 n 次方根，“ n”是方根的记号.在实数范畴内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次
4、方根是log a（ MN） =log aM +log aN. logalog aM n=nlog aM .（ M 0， N 0，a 0， a1）M =log aM log aN.N0；正数的偶次方根是两个肯定值相等符号相反的数，0 的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质对数换底公式：logbN=log aN （ a0， a 1，b 0， b 1， N 0） .n当 n 为奇数时，n a当 n 为偶数时，n a n=a.a=|a |=a0,2.对数函数（1）对数函数的定义函数 y=loglog a b（3）分数指数幂的意义maa0.ax（ a 0， a1）叫做对数函数，其中x 是自变
5、量，函数的定义域是（0， +） .（2）对数函数的图象ma n = n a（ a 0， m、n 都是正整数， n 1） . 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -yyy=l ogax a 1一些常见函数的性质，归纳提炼函数性质的应用规律.再如函数单调性的用法主要是逆用定义等.【课前训练】1（ 湖北）如函数y=ax+b 1（ a 0 且 a1）的图象经过二、三、四象限，就肯定有（）A.0 a1 且 b0B. a1 且 b0C.0 a1 且 b 0D. a 1 且 b0底数互为倒数的两个对
6、数函O数的图1象关于x 轴x对称 .（3）对数函数的性质:定义域：（ 0， +） .值域： R .过点（ 1， 0），即当 x=1 时， y=0.1Oxy=l oga x 0a12 山东卷）函数xy= 1+a 0 a1的反函数的图象大致是当 a 1 时，在（ 0， +）上是增函数；当0a 1 时，在（ 0，+）上是减函数.四幂函数（ A ）（B ）（ C）（D ）1幂函数定义及其图象：一般地，形如2几种常见幂函数的图象：1yxaR 的函数称为幂函数，其中为常数 .3（ 浙江卷）已知0 a1， log a m log a n 0，就A1 nmB 1 m nCm n 1D n m14（ 湖南）如直
7、线y=2a 与函数 y=|ax1|（ a 0 且 a 1）的图象有两个公共点，就a 的取值范围是 .（1） yx ；（ 2） yx 2 ；（3） yx2 ；（ 4） yx 1 ；（5） yx3 51x 22x 2 函数 y=（）2的递增区间是.【试题精析】【例 1】对于函数f（ x），如存在 x0 R，使 f（ x0） =x0 成立，就称x0 为 f（x）的不动点 .已知函数 f（ x） =ax2+（ b+1） x+b1（ a 0） .（ 1）当 a=1， b= 2 时，求 f（ x）的不动点；（ 2）如对于任意实数b，函数 f（ x）恒有两个相异的不动点，求a 的取值范畴 .3 幂函数性质（
8、 1）全部的幂函数在（0， +）都有定义，并且图象都过点（1， 1）；（ 2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0, 上是增函数特殊地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（ 3）0 时，幂函数的图象在区间0, 上是减函数在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴正半轴，当x 趋于时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴正半轴1【提示】应娴熟把握二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数，以及形如y=x+的函数等x【评述】二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c 0（或 0）与二次函数y=ax2+bx+c 的图象联系比较亲密，要留意
9、利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题. 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -【例 2】（ 浙江卷）设fx=3ax 22bxc.如abc0 ,f0 0， f1 0，求证：【例 5】已知 9x 103x+9 0，求函数y=（1 ） x 1 4（41 ） x +2 的最大值和最小值.2 a 0 且 2a 1； 方程 fx =0 在（ 0，1）内有两个实根.b【例 3】设函数f（ x） |lgx|，如 0 ab，且 f（ a） f（b），证明： ab 1【例 6】如关于x 的方程
10、25 |x+1| 4 5 |x +1| m=0 有实根，求m 的取值范畴 .【评述】 本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算才能，考查分析解决问题的才能.【例 4】如 f（ x） =x2 x+b，且 f（ log 2a） =b， log 2 f（ a）=2（ a1） .（ 1）求 f （log 2x）的最小值及对应的x 值；（ 2）x 取何值时， f （log 2x） f（1）且 log 2 f（ x） f（ 1）？ 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -【针对训练】yy1
11、湖南卷）函数ylog 2 x2 的定义域是 A.3, + B.3, + C.4, + D.4, + x2函数 y=2 3 的图象与直线y=x 的位置关系是（）OxOxyyAByyOxOx6方程 2x =2 x 的解的个数为 .7（ 春季上海）方程lgx+lg （ x+3）=1O的解 x= x .O x91AB8设函数f（ x） =log2yyx，就满意f（ x）C2 的 x 值为D3下图是指数函数（1）y=ax ，（2） y=bx，（ 3） y=cx，（ 4） y=dx 的图象，就a、b、c、d 与 1 的大9已知函数ylog 2 x2 的定义域是 a, b ,值域是1,log 2 14 ,求实数a ,b 的值 .小关系是OxOxy1234CD1Ox10 设 F xfxgx , 其中 fxlg x1 ,并且仅当x0 , y0 在ylg x1 的图象A. a b1 c dB. b a 1 d cC.1 ab c dD. a b 1d c上时，2 x0 ,2y0在 yg x 的图象上；4（ 北京卷）已知3af xlog a1xx, x4a, x 11是 , 上的增函数，那么a 的取值范畴（ 1）写出 g x的函数解析式； （ 2）当 x 在什么区间时，F x0 ？是 （）（ A ）
