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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -高中数学函数学问点总结1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）两点必需同时具备 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是（答：，）函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零；正切函数且余切函数且反三角函数的定义域，函数 yarccosx的定义域是值域是1, 1 ，函数 yarcsinx 的定义域是1, 1，值域是0,， 函数 y arctgx 的定义域是R
2、 ，值域是 .，函数 yarcctgx 的定义域是R ，值域是0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时，先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴，再取他们的交集，就得到函数的定义域；3. 如何求复合函数的定义域？如：函数 fx 的定义域是，就函数的定义域是 ；（答：，）复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出 x 的范畴，即为的定义域；例如函数的定义域为，就 flog2x 的定义域为；分析：由函数的定义域为可知：；所以2x中有；解：依题意知：解之，得 flog2x 的定义域为4、函数值域的求法1、直接观看法对于一些比较简洁的函数，其值域可通过观看得到；1 例 求函数 y
3、=的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例、求函数 y=x2-2x+5 ，-1，2 的值域；3、判别式法对二次函数或者分式函数 （分子或分母中有一个是二次）都可通用， 但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -下面，我把这一类型的具体写出来，期望大家能够看懂b 型：直接用不等式性质k+x2型,先化简，再用均值不等式x11例：x+x型法一：用判别式型 通常用判别式法二：用换元法，把分母替换掉（x+1） （x+
4、1）+1 1例：（ x+1）4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域；例 求函数 y=值域；5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域；我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性；例 求函数 y=x，的值域；即又由解不等式，求出y，就是要求的答案6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个（ 2x1）0 的值 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -域y 的取值范畴2y-2x 的取值范畴解
5、:1令d 为圆心到直线的距离 ,R 为半径 2令 y-即也是直线例求函数就是一条过 -2,0的直线的值域；解：原函数可化简得： y=x-2 +x+8上式可以看成数轴上点P（ x）到定点 A （2），B（-8）间的距离之和；由上图可知：当点P 在线段 AB 上时，y=x-2 +x+8= AB =10当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，y=x-2 +x+8 AB =10故所求函数的值域为： 10，+）例求函数的值域2 解：原函数可变形为：上式可看成 x 轴上的点 P（ x，0）到两定点 A（3，2）， B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时，ymin=
6、 AB =故所求函数的值域为 43，+）；注：求两距离之和时，要将函数9 、不等式法， 2利用基本不等式a+b2a，ba+b+c33ab（ca，b，cR），求函数的最值，其题型特点解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值， 不过有时必要用到拆项、添项和两边平方等技巧；2 例：应用公式者的乘积变成常数）x23-2x0<x<1.5- 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -应用公式时，应留意使 3 者之和变成常数） 310.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒
7、过来之后，你会发觉另一番境况例求函数的值域时 ， 时， y=02多种方法综合运用 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -总之，在具体求某个函数的值域时，第一要认真、认真观看其题型特点，然后再 挑选恰当的方法， 一般优先考虑直接法， 函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法；5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特殊是做大题时，肯定要留意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如：，求令
8、，就6. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数的 反 函 数（ 答 ：）在更多时候， 反函数的求法只是在挑选题中显现，这就为我们这些喜爱偷懒的人供应了大便利；请看这个例题： 2004.全国理 函数的反函数是（B）A y=x2 2x+2x<1C y=x2 2xx<1B y=x2 2x+2x 1 D y=x22xx 1当然，心情好的同学，可以自己渐渐的运算，我想，一番心血之后，假如不显现运算问题的话，答案仍是可以做出来的；惋惜，这个不合我胃口，由于我一向懒散惯了，不习惯运算；下面请看一下我的思路：原函数定义域为
9、x=1，那反函数值域也为y>=1.排除选项 C,D.现在看值域；原函数至于为 y>=1, 就反函数定义域为x>=1,答案为 B.我题目已经做完了，似乎没有动笔（除非你拿来写* 书）；思路能不能明白呢？7. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、 反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的 y） 2、 反函数的值域是原函数的定义域 （可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x）3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（ x,y）和点（ y，x ）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线yx 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；设的定义域为
10、 A ，值域为 C，就，由反函数的性质，可以快速的解出许多比较麻烦的题目，如（ 04. 上海春季高考）已知函数， 就方程的解 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -8 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判定函数单调性的方法有三种：1定义法：依据定义，设任意得x1,x2 ，找出fx1,fx2 之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与1 的关系2参照图象：如函数 fx 的图象关于点 a，b对称，函数 fx 在关于点 a，0的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）如
11、函数 fx 的图象关于直线xa 对称，就函数 fx 在关于点 a，0的对称区间里具有相反的单调性； （特例：偶函数）3利用单调函数的性质：函数 fx 与 fx cc 是常数 是同向变化的函数 fx 与 cfxc 是常数 ，当 c 0 时，它们是同向变化的；当 c 0 时，它们是反向变化的； 假如函数 f1x ，f2x 同向变化， 就函数 f1x f2x 和它们同向变化；（函数相加）假如正值函数f1x ， f2x 同向变化，就函数f1xf2x 和它们同向变化；假如负值函数 f12与 f2x 同向变化，就函数 f1xf2x 和它们反向变化；（函数相乘） 函 数 fx 与 1 fx 在 fx 的同号区间里反向变化；如函数 ux，x ，与函数 y Fu，u ， 或 u , 同 向变化，就在 ，上复合函数yF x是递增的；如函数ux,x，与函数 yFu，u ， 或 u ， 反向变化，就在 ，上复合函数yF x是递减的；（同增异减） 1如：求的单调区间（设，由就且，如图：22 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -当，1时，又，2当，2时，又，2 , ）9. 如何
