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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -定积分一、定积分的概念1. 定义：设函数nyf x 在区间 a, b 上有定义， 假如和式极限limf l T 0 i1ixi 存在（其中l T maxx1 ,x2 ,xn ）就称这个极限为函数f x 从 a 到 b 的积分，b记作fax dx ；2. 几何意义：当f x0 时，bf xdx 表示由x 轴，直线x=b,x=b 及曲线ayf x 所围成的曲边梯形的面积；3. 运算法就bbb(1) f xg x dxf xdxg x dx,aaa(2) b kf x dxkbf x dx, k 为常数a ab
2、 cb(3) f x dxf xdxf x dxa acb a(4) f xdxf xdxab二、可积准就1 、可积准就：函数f x在闭区间 a,b可积的充要条件是lim ST l T 0sT 0或liml T n0 k 1kxk0其中ST , sT 分别表示关于T 的大和与小和，k 为振幅；2.可积的必要条件：如函数f x 在区间 a ,b 可积，就函数f x 在 a,b 有界；3.可积的充分条件（ 1）如函数f x 在闭区间 a, b 连续，就函数f x 在 a ,b 可积；（ 2）如函数f x 在闭区间 a, b 有界，且有有限个间断点， 就函数f x 在闭区间 a,b 可积；（ 3）如
3、函数f x 在闭区间 a,b 单调（可能有无限多个间断点）同函数f x 在闭区间 a ,b 可积；（ 4）设函数f x 在 a,b 上的有界函数，就以下说法等价： f x 在 a,b 上可积； 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - - lim ST l T 0sT 00,T ,使ST sT n0,T ，使k 1kxk4. 积分上限函数及其性质（ 1）定义： 设函数f x 在 a ,b 上可积， 就函数 xxf tdt 称为函数af x 在 a, b 上的积分上限函数（其中x a, b ）
4、，（ 2）性质：如 果 f续；x 在 a,b 上可积，就积分上限函数 x xf t dt 在 a ,b 上连a如 果 在 a ,b上 连 续 ， 就 积 分 上 限 函 数 xxf tdt 可 导 ， 且a5. 定积分的运算 x dxdxaf td tfx（ 1）牛顿莱布尼兹公式fab x dxF b F a （其中F x 是f x的一个原函数）（ 2）定积分的换元法（留意换元而且要换限）（ 3）定积分的分部积分法6. 定积分的中值定理及性质三、定积分的应用1、微元法：曲边梯形的面积bAdAa物体运动的路程bSdsa变力所做的功2.平面区域的面积bw dwa直角坐标系参数方程bAf x dxa
5、A t t dt12极坐标如 C 的极坐标方程为3.平面曲线的弧长：rf ,就面积A2 f d参数方程：x=t , yt ,t，就 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -弧长S2 t2 t dt直角坐标系：yf xaxb弧长Sb1f 2 axdx极坐标rf ,弧长Sf 2 f 2 dr 2r 2 d4.应用截面面积求体积bbVdvP zdzaa5.旋转体体积P z 为截面面积2将 区 间 a ,b上 的 连 续 曲 线yf x绕x轴 旋 转 一 周 ， 所 得 旋 转 体 的 体 积b
6、V f ax d x7. 旋转体的侧面积将区间 a ,b 上非负连续曲线yf x绕 x轴旋转得到旋转体的侧面积为bS2fa x1f 2 x dx 21y2 dxba如 曲 线 由 参 数 方 程 ： x t , yt ,t给 出 ， 就 侧 面 积 为S2t2 t2 t dt2yxy2 dt如曲线由极坐标方程：0 给出，就侧面积为：S2sin22 d四例题1.证明：如函数f x 在 0,1 上可积， 且1f xdx00 ，就存在某个闭区间 a ,b0,1 ，x a, b ，有 f x0 ； 证假设任意闭区间,0,1 ，总存在, ，使 f 0 ；给 任 意 分法T ， 将 0,1 分 成 n 个
7、 小 区 间 ： x0 , x1 , x1 , x2 , x2 , x3 , xn1, xn ，x00, x11.取k xi1, xi ，使f 0 ， 1kn ；作积分和knf k xk0k1 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -有limT nf k xk0 k 11f xdx00 与已知条件冲突，就存在某个闭区间 a, b 0,1 ，x a, b ，有 f x0 ，2. 证 明 ： 如 函 数f x 与g x在 0,1上 同 是 单 调 增 加 或 单 调 减 少 ， 就111f
8、xdxg xdxf xg x dx000证法：应用定积分定义和不等式nna kbkk 1k 1nna k bkk 1,其中aia j 与bib j 或aia j与 bibj1i, jn 证 已知函数f x 与g x 在 0,1 上可积，从而f xg x 在 0,1 上也可积，将0,1 等分成 n 个小区间 k1 , k ，取k ，1kn ，由函数f x 与g x 在 0,1 上有相nnknnknknkk同 的 单 调 性 ， 由 已 知 的 不 等 式 ， 有f g nf g ） 或k 1nk 1nk 1nnnk1nk1nkk 1f g fg由定积分定义，当n,时，k 1nn k 1nnk 1
9、nnn111f xd x g xd xfxgxd x20003.假如函数f x或 f x在 a ,b 上可积，函数f x 在 a,b 上是否可积 . 解 不肯定，例如函数1f x1当x是有理数当x是无理数而f x1或 fx 21在 0,1 上都可积，但是，函数f x 在 0,1 上却不行积；反之， 如函数 x在 a, b 上可积， 就 x在 a,b 上可积； 而 x 2 在 a,b 上也可积；（见练习题8.2 第 6 题）b4.证明： 如函数f x 在 a, b 连续， 非负， 且x0 a,b ，使f x00,就f xdx0 ；a 证 已 知 函 数f x在x 0 连 续 ， 且f x0 0 根,据 连 续 函 数 的 保 号 性 ，0,x,
