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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -第八章平面对量与空间向量一、学问导学 8.1 平面对量及其运算1. 模（长度）：向量AB 的大小，记作| AB | ；长度为的向量称为零向量，长度等于个单位长度的向量，叫做单位向量；2. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量；3. 相等向量：长度相等且方向相同的向量；4. 相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量；记作- a ；5. 向量的加法：求两个向量和的运算；已知 a ， b ；在平面内任取一点，作AB = a ， BC = b ，就向量AC 叫
2、做 a 与 b 的和；记作a + b ；6. 向量的减法：求两个向量差的运算；已知 a ， b ；在平面内任取一点O，作 OA = a ， OB = b ，就向量BA 叫做 a 与 b 的差；记作a - b ；7. 实数与向量的积：（ 1）定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，并规定： a 的长度 | a |=| | |a | ；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时， a =0（ 2）实数与向量的积的运算律：设 、 为实数，就 a = a + a = a + a a + b = a + b8. 向量共线的充分条件：向
3、量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数，使得 b a ；另外，设 a =（ x 1 ,y1） ,b = x 2,y 2 ， 就 a /bx1y2 x2y1=09. 平面对量基本定理：假如 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 1、 2 使a 1 e1 2 e2，其中不共线向量e1 、 e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；10. 定比分点设 P1， P2 是直线 l上的两点，点P 是不同于P1， P2 的任意一点就存在一个实数 , 使 P1 P2= P1 P2， 叫做分有向线段所成的比；如点P1、P、P2 的坐标分
4、别为 x 1， y 1 ， x,y， x 2,y 2 ，就有 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -特殊当 =1，即当点P是线段 P1P2 的中点时，有x x1x2 2y y1y2 211. 平面对量的数量积(1) 定义：已知两个非零向量a 和 b ，它们的夹角为 ，就数量 | a |b |cos 叫做 a 与 b 的数量积 或内积 ，记作 a b ，即 a b | a |b |cos 规定：零向量与任一向量的数量积是0；(2) 几何意义：数量积a b 等于 a 的长度 | a |
5、与 b 在 a 的方向上的投影| b |cos 的乘积；(3) 性质：设a ， b 都是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量，是 a 与 e 的夹角，就e a a e | a |cos ， a ba b 0当 a 与 b 同向时， a b | a |b |当 a 与 b 反向时， a b | a |b |特殊地， a a | a | 2 或| a | a acos abab|a b | |a |b |(4) 运算律：a b b a 交换律 a b b a a b a b c a c b c（ 5）平面对量垂直的坐标表示的充要条件：设 a =（ x 1 ,y1） ,b = x 2,y 2
6、， 就aba b =| a | |b |cos90 =0abx1x2+y1y2=012. 平移公式：/设 P（x， y ）是图形 F 上的任意一点，它在平移后图形F 上对应点为P （x ， y ），且设/PP的坐标为（ h， k ），就由 OP/ OP PP /，得：（ x ，y ）（ x， y ） +（ h， k）/二、疑难学问导析1向量的概念的懂得，特殊是特殊向量“零向量” 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -向量是既有大小，又有方向的量向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的
7、，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量；2在运用三角形法就和平行四边形法就求向量的加减法时要留意起点和终点；3对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，肯定要区分好两个公式，切不行混淆；因此，建议在记忆时对比记忆；4定比分点公式中就要记清哪个点是分点；仍有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开运算的；5平移公式中第一要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时留意次序；三、经典例题导讲 例 1和 a = 3, 4 平行的单位向量是 ；错
8、解 ：由于 a 的模等于5，所以与 a 平行的单位向量就是1 a ， 即 34，5错因 ：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情形；1正解 ：由于 a 的模等于5，所以与 a 平行的单位向量是5553434a ， 即 5 ， 5 或 5 ， 5 点评 ：平行的情形有方向相同和方向相反两种；读者可以自己再求解“和a = 3, 4 垂直的单位向量”，结果也应当是两个； 例 2 已知 A（ 2， 1）， B（ 3， 2）， C（ -1 ， 4），如 A、B、 C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D 的坐标；错解： 设 D的坐标为（ x ， y ），就有x-2=-1-3，y-1=4-2，即 x=-2
9、 ， y=3 ；故所求D的坐标为（ -2 ， 3）； 错因 ：思维定势；习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是依据ABCD的次序；其实，在这个题目中，根本就没 有指出四边形ABCD；因此，仍需要分类争论；正解 ：设 D的坐标为（ x ， y ）当四边形为平行四边形ABCD时，有 x-2=-1-3， y-1= 4-2，即 x= -2 ， y= 3 ；解得 D 的坐标为（ -2 ， 3）；当四边形为平行四边形ADBC时，有 x-2=3- （-1 ）， y-1= 2-4，即 x= 6 ， y= -1 ；解得 D的坐标为（ 6， -1 ）；当四边形为平行四边形ABDC时，有 x-3=-1-2， y-2
10、= 4-1，即 x= 0 ， y= 5 ；解得 D 的坐标为（ 0， 5）；故第四个顶点D的坐标为（ -2 ， 3）或（ 6， -1 ）或（ 0，5）； 例 3 已知 P13,2， P2（ 8， 3），如点P 在直线 P1P2 上，且满意 |P 1 P|=2|PP 2| ，求点 P 的坐标；错解 ：由 |PP|=2|PP | 得，点 P 分 P P 所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（ 198 ）121 2,33错因 ：对于 |P 1P|=2|PP 2| 这个等式，它所包含的不仅是点P 为 P 1，P2 的内分点这一种情形，仍有点P 是 P 1，P2 的外分点；故须分情形争论；正解 ：当点
11、 P 为 P 1， P2 的内分点时，P 分 P1 P2 所成的比为2，此时解得P（ 19 , 8 ）；33当点 P 为 P 1，P2 的外分点时，P 分 P1P2 所成的比为 -2 ，此时解得P（ 13，4）；就所求点P 的坐标为（19 , 8 ）或（ 13， 4）；33点评 ：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，留意内外分点的情形；也就是分类争论的数学思想； 例 4设向量a x1 , y1 ， b x2 , y2 ， b0 ，就 “a / b ”是“x1 y2x2 y1 ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件分析 ：依据向量的坐标运算和充要条
12、件的意义进行演算即可 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：如a / b ， b0 ，就 arb ，代入坐标得： x1 , y1 r x2 , y2 ，即x1rx 2 且y1ry 2消去 r ，得x1 y2x2 y1 ；反之，如x1 y2x2 y1 ，就x1rx 2 且y1ry 2 ，即 x1,y1 r x2 ,y2 就 arb ， a / b故“ a / b ”是“x1 y2x2 y1”的充要条件答案： C点评 ：此题意在巩固向量平行的坐标表示 例 5 已知 a =（ 1， -1 ）， b =（ -1 ， 3）， c =（ 3， 5），求实数x 、y，使 c =x a +y b分析 ：依据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可解：由题意有x a +y b =x （ 1， -1 ） +y（-1 ， 3） =（ x-y ， -x+3y ） 又 c = （ 3，5） x-y=3 且-x+3y=5解之得 x=7且 y=4点评 ：在向量的坐标运算中常常要用到解方程的方法 例 6 已知 A（ -1 ， 2）， B（ 2， 8）， AC = 1 AB， DA = -31 BA ，求点 C、D 和向量 CD 的坐标3分析 ：待定系数法设定点C、D的坐标， 再依据向量ACAB
