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1、第二节两直线的位置关系基础达标一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015聊城质检)若直线ax+2y+6=0和直线x+a(a+1)y+(a2-1)=0垂直,则a的值为()A.-B.0C.-3D.-或01.D【解析】本题考查两直线垂直的条件.由题意可得a+2a(a+1)=0,解得a=-或0.2.(2015泉州模块检测)不论m取任何实数,直线l:(m-1)x-y+2m+1=0恒过一定点,则该定点的坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,0)D.2.B【解析】本题考查直线方程.直线l的方程可转化为m(x+2)-(x+y-1)=0,令解得x=-2,y=3,即该定点的坐标是(-2,3).
2、3.(2015黑龙江佳木斯一中调研)直线l1:(3+a)x+4y=5-3a和直线l2:2x+(5+a)y=8平行,则a=()A.-7或-1B.-7C.7或1D.-13.B【解析】由题意可得解得a=-7.4.若三条直线l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,l3:x-my=2不能围成三角形,则实数m的取值最多有()A.2个B.3个C.4个D.6个4.C【解析】三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线平行或者三条直线相交于同一点.若l1l2,则m=4;若l1l3,则m=-;若l2l3,则m的值不存在;若三条直线相交于同一点,则m=1或-.故实数m的值最多有4个.5.已知A,B两点分别在两条互相垂直
3、的直线l1:2x-y=0和l2:x+ay=0上,且线段AB的中点为P(0,),则线段AB的长为()A.8B.9C.10D.115.C【解析】由l1l2得2-a=0,a=2,所以线段AB的中点P的坐标为(0,5),又AB为直角三角形AOB(其中O为坐标原点)的斜边,所以|AB|=2|PO|=10.二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2015清远期末)过点(1,2)且与直线x+y+1=0平行的直线的方程是.6.x+y-3=0【解析】本题考查两直线平行的条件、直线方程.过点(1,2)且与直线x+y+1=0平行的直线的方程是x+y-3=0.7.(2015河北唐山一中月考)一束光线从原点O(0,0)
4、出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),则反射光线方程为.7.y=3【解析】本题考查直线方程.设点O(0,0)关于直线l:8x+6y=25的对称点坐标为(x,y),则解得则点(4,3)在反射光线所在直线上,又反射光线经过点P(-4,3),则反射光线方程为y=3.8.(2015韶关模拟)两条平行直线l1:3x+4y-4=0与l2:3x+4y+1=0之间的距离是.8.1【解析】l1:3x+4y-4=0与l2:3x+4y+1=0之间的距离d=1.9.已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2),B(-a,1),且l1l,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=
5、.9.-2【解析】由题意可得直线l的斜率为1,则直线l1的斜率是-1,即=-1,解得a=-4.又l1l2,所以-=-1,解得b=2,则a+b=-4+2=-2.三、解答题(共20分)10.(10分)(2015河北唐山一中月考)已知直线l1经过点A(3,m),B(m-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,m+2).(1)当m=6时,试判断直线l1与l2的位置关系;(2)若l1l2,试求m的值.10.【解析】(1)当m=6时,A(3,6),B(5,2),C(1,2),D(-2,8),=-2, =-2,故,此时,直线l1的方程为y-6=-2(x-3),经验证点C不在直线l1上,从而l1l2.
6、(2) =-,l2的斜率存在,若l1l2,当=-=0时,m=0,则A(3,0),B(-1,2),此时直线l1的斜率存在,不符合题意,舍去;当=-0时, ,故-=-1,解得m=3或m=-4.综上可得m=3或m=-4.11.(10分)(2015湛江模拟)已知点A(-3,0),B(3,-3),C(1,3).(1)求过点C且和直线AB平行的直线l1的方程;(2)若过点B的直线l2和直线BC关于直线AB对称,求l2的方程.11.【解析】(1)=kAB=-,且l1过点C(1,3),所求方程为y-3=- (x-1),即x+2y-7=0.(2)kAB=-,直线AB的方程是y=- (x+3).设点C关于直线AB
7、的对称点为点D,kCD=-=2.直线CD的方程是y-3=2(x-1),联立解得交点,也即CD的中点坐标为(-1,-1),点D的坐标为(-3,-5).l2的方程是,即x-3y-12=0.高考冲关1.(5分)(2015泉州检测)过点P(2,1)且与原点距离最远的直线为()A.2x+y-5=0B.2x-y-3=0C.x+2y-4=0D.x-2y=01.A【解析】由题意可得所求直线为过点P且垂直于OP的直线,由直线OP的斜率为,则所求直线的斜率为-2,方程为y-1=-2(x-2),即为2x+y-5=0.2.(5分)在直角三角形ABC中,点A(0,0),B(1,1),C(2,m),则实数m的值为()A.
8、2B.0C.-2D.-2或02.D【解析】对三角形的直角顶点进行讨论.由已知可得直线AB,BC,CA的斜率均存在.若A是直角,则kABkAC=-1,即=-1,解得m=-2;若B是直角,则kABkBC=-1,即=-1,解得m=0;若C是直角,则kBCkAC=-1,即=-1,化简得m2-m+2=0,无解.所以实数m的值为-2或0.3.(5分)(2015怀化模拟)在等腰RtABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经过BC,CA反射后又回到原来的点P.若AP=,则PQR的周长等于()A.B.C.D.3.A【解析】分别以AB,AC所在直线为x,y轴,建立平面直角坐标系,
9、则P,直线BC的方程为x+y-4=0.点P关于直线BC的对称点P,点P关于直线AC的对称点P,所以PQR的周长为|PQ|+|QR|+|PR|=|PQ|+|QR|+|RP|=|PP|=.4.(5分)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点.4.(0,2)【解析】由已知可得直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),直线l1与直线l2关于点(2,1)对称,而点(4,0)关于点(2,1)的对称点为(0,2),直线l2恒过定点(0,2).5.(5分)已知A(a,1),B(3,5),C(7,3),D(b,-1)是菱形ABCD的四个顶点,则a+b=.5.6或14【解
10、析】因为四边形ABCD是菱形,所以ABCD,ACBD,又由已知可得直线AB,CD,AC,BD的斜率均存在,则kAB=kCD,kACkBD=-1,即=-1,化简得a=b-4,(a-7)(b-3)=-12,二者联立,解得所以a+b=6或14.6.(5分)直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2之间的距离最大时,直线l1的方程为.6.x+2y-3=0【解析】当l1,l2均与A,B两点的连线垂直时,l1,l2之间的距离最大.因为直线AB的斜率为2,所以l1,l2的斜率都是-,所以直线l1的方程为y-1=- (x-1),即x+2y-3=0.7.(10分)已知过
11、点A(1,1)且斜率为-m(m0)的直线l与x,y轴分别交于P,Q两点,分别过P,Q作直线2x+y=0的垂线,垂足分别为R,S,求四边形PRSQ面积的最小值.7.【解析】设直线l的方程为y-1=-m(x-1),则P,Q(0,1+m),从而直线PR和QS的方程分别为x-2y-=0和x-2y+2(m+1)=0,又PRQS,|RS|=,又|PR|=,|QS|=,四边形PRSQ为梯形,所以SPRSQ=,所以四边形PRSQ面积的最小值为.8.(10分)等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+3y-6=0上,顶点A的坐标是(1,-2).求边AB,AC所在直线的方程.8.【解析】由已知可得边BC所在直线的斜率为-,因为BCAC,所以边AC所在直线的斜率为,则边AC所在直线的方程为y+2= (x-1),即3x-2y-7=0.又点A(1,-2)到直线BC:2x+3y-6=0的距离为|AC|=,且|AC|=|BC|=,由于点B在直线2x+3y-6=0上,可设B,且点B到直线AC的距离为a-11=,所以a-11=10或a-11=-10,所以a=,所以B或B,所以边AB所在直线的方程为y+2= (x-1)或y+2= (x-1),即x-5y-11=0或5x+y-3=0,所以边AC所在直线的方程为3x-2y-7=0,边AB所在直线的方程为x-5y-11=0或5x+y-3=0.7
