西安交通大学15年7月课程考试《复变函数》作业考核试题答案

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2、 留 数 定 理 ， 2pii limz-1sin 什么 x1/4/z+1= 答案；你图片少截了一块不过我猜唯独可能是 sinpiz/4习题一答案； 1求以下复数的实部、 虚部、模、幅角主值及共轭复； i1 ；（ 2）；i.1i.23.2i ； 13i821 ； （ 3）.（4）.i.4i.i ；i1.i ；13.2i ；解：（ 1）z. ，.；3.2i1332 ；因此： Rez.,Imz. ，； 1313232z.argz.arctan,z. ； 31313ii.3.i ； .（ 2） z.，； i.1i.21.3i习题一答案最新在线作业试卷及满分答案最新在线作业试卷及满分答案1 求以下复数

3、的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：i1（ 2） i.1i.23.2i 13i821（3） . （ 4） .i.4i.i i1.i 13.2i解：（ 1） z.， . 3.2i1332 因此： Rez., Imz. ， 1313232z. argz.arctan, z.i 31313ii.3.i .（2）z.， i.1i.21.3i10 31 因 此 ， Rez., Imz. ， 1010 131z. argz.arctan, z.i 3101013i3.3i3.5i（ 3） z.， .i. i1.i22 35最新在线作业试卷及满分答案最新在线作业试卷及满分答案因此， Rez., Imz.

4、， 3253.5iz. argz.arctan, z. 232 821（ 4） z.i.4i.i.1.4i.i.1.3i（1） 因此， Rez.1, Imz.3 ， z.argz.arctan3, z.1.3i 2 将以下复数化为三角表达式 和指数表达式：（ 1） i（ 2 ） .1.（ 4） rcos. 解：（ 1） i （ 3） rsin.icos.isin.（5）1.cos.isin. 0.2. .cos . 2 .isin . 2 . 2 .e 1 i最新在线作业试卷及满分答案最新在线作业试卷及满分答案 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - -2i223 （ 2 ）

5、.1.2cos.isin.2e33（ 3）rsin. （ 4）rcos.icos.rcos.isin.re22.isin.rcos.isin.re.i.isin.2sin2. .i2 . （ 5） 1.cos. . .2isincos 222 . . . i .2sincos 2（1 ） . 2最新在线作业试卷及满分答案最新在线作业试卷及满分答案.isin.2.2sine223 求 下 列 各 式 的 值 ：.i5（ 2 ） 1.i100.1.i100 cos5.isin5.21.cos.isin.（ 3 ） （ 4） cos3.isin3.31.icos.isin.（ 5 （ 6解：（ 1

6、）5 .i5.2cos.isin.566 . 5.5. .2cos.isin.i66 （ 2） 1.i最新在线作业试卷及满分答案最新在线作业试卷及满分答案100 .1.i100.2i50.2i50.2250.2511.cos.isin.（ 3 ） 1.icos.isin.2cos.isin.cos.isin. .isin.cos.isin. .44 . . . 12 .isin. . 12 cos2. isin2. . . 12 .isin2.最新在线作业试卷及满分答案最新在线作业试卷及满分答案. 12 2 .2. . 12 i cos5.isin5.2（4） 3 cos3.isin3. co

7、s10.isin10.cos19.isin19. cos.9.isin.9.（ 5 . 1 .i,k.0.22.11.1. .i, k.1 .cos.2k. isin.2k. 3232.22 .i, k.2.（ 6 . i. 8最新在线作业试卷及满分答案最新在线作业试卷及满分答案1.1., k.0 .2k. isin.2k. 2424.8i, k.1 . 4 设 z1 . z z2.i,试用三角形式表示z1z2与1z2解 ： z1.cos.isin,z2.2cos.isin.， 所 以4466.z1z2.2cos.isin.2cos.isin，46461212z11.15.5. .cos.is

8、in.cos.isinz22464621212 5 解以下方程：（ 1） z.i 5 . .1（ 2） z4.a4.0 a.0 .由此解：（ 1 ） z.i 3最新在线作业试卷及满分答案最新在线作业试卷及满分答案z.i.e （2 ）z 2k.i5.i ，k.0,1,2,3,4.时，对应的 4 11 ,1,2,3.acos.2k.isin.2k.，当 k.0 44 1.i, .1.i, .1.i, .i 6 证明以下各题： （ 1）设 z.x. iy,.z.x.y证明：首先，明显有其 次 z.x.y ； ， 因 x2.y2.2xy,固此有 2x2.y2.2 ,从而 z. 2 2最新在线作业试卷及

9、满分答案最新在线作业试卷及满分答案； 2 （ 2）对任意复数z1,z2,有 z1.z2.z1.z2.2Rez1z2x22.y1.y22， 证明：验证即可， 首先左端.x1.而右端.x12.y12.x22.y22.2Rex1.iy1x2.iy2.x12.y12.x22.y22.2x1x2.y1y2.x1.x22.y1.y22，由 此 ， 左 端 = 右 端 ， 即 原 式 成 立 ；（ 3 ） 如a.bi是 实 系 数 代 数 方 程a0z n .a1zn.1. .an.1z.a0.0的一个根，那么a.bi也是它的一个根；证明：方程两端取共轭， 注 意 到 系 数 皆 为 实 数 ， 并 且 根

10、 据 复 数 的 乘 法 运 算 规 就 ， zn.zn， 由 此 得 到 ： a0zn.a1zn.1. .an.1z.a0.0由此说明：如z为实系数代数方程的一个根，就z也是；结论得证；（ 4）如 a.1, 就 .b.a, 皆有 a.b .a 1.ab 4证明：依据已知条件，有aa.1 ，因此：最新在线作业试卷及满分答案最新在线作业试卷及满分答案a.ba.ba.b1 .a ，证毕；1.abaa.aba.aba a.b（ 5）如 a.1, b.1，就有 .1 1.ab证明：a.b.a.ba.b.a.b.ab.ab， 2 2 2 222 .ab.1.ab1.ab.1.ab.ab.ab， 因 为

11、a.1, b.1，所以， 2 a.2 22 0， .1.1.ab.1. 222 a.b因而 a.b.ab ，即 .1，结论得证；1.ab 7 设z.1, 试写出访 zn.a达到最大的z的表达式，其中n为正整数， a最新在线作业试卷及满分答案最新在线作业试卷及满分答案为复数；解：第一，由复数的三角不等式有zn.a.zn.a.1.a ， n为此，需要取zzn.a达到最大，在上面两个不等式都取等号时n n a与 a同向且 z.1 ，即 z应为 a的单位化向量，由 此， z.， a n z. 8试用 z1,z2,z3来表述使这三个点共线的条件；解：要使三点共线，那 么用向量表示时，z2 .z1与 z3

12、.z1应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差0或.的整数倍，再由复数的除法运算规章知Arg z2.z1应为 0或.的整数倍，至此得到：z3.z1 5 z1,z2,z；三个点共线的条件是3 ； z2.z1 ；为实数； z3.z1 ； 9写出过z1,z2z1.z2 两点的直线的复；. x.x1.tx2.x1；， .； 1.y.y1.ty2.y；解：过两点的直线的实参数方程 为：因而，复参数方程；z.x.iy.1x. 1iy.t2x.1x.2i； t.zz ；其中 t为实参数； 10以下参数方程表示什么曲线？（其中t为实参最新在线作业试卷及满分答案最新在线作业试卷及满分答案 z1,z2,z三个点

13、共线的条件是3 z2.z1为实数；z3.z19写出过z1,z2 z1.z2两点的直线的复参数方程；.x.x1.tx2.x1， . 1.y.y1.ty2.y解：过两点的直线的实参数方程为：因而，复参数方程为：z.x.iy.1x.1iy.t2x.1x.2iy.1iy.1.z 2t .zz其中 t为实参数； 10以下参数方程表示什么曲线？（其中t为实参数）最新在线作业试卷及满分答案最新在线作业试卷及满分答案i（1） z.1.it（ 2） z.acost.ibsint（ 3） z.t. t解：只需化为实参数方程即可；（ 1） x.t,y.t，因而表示直线y.x x2y2（2） x.acost,y.bsint，因而表示椭圆2.2.1ab 1（3） x.t,y.，因而表示双曲线xy.1t11证明复平面上的圆周方程可表示为其中 a 为复常数， c 为实常数证明：圆周的实方程可表示为： x2zz.az.az.c.0 ，.y2.Ax