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1、二次函数学问点详解（最新原创助记口诀）学问点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系； 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面；为了便于描述坐标平面内点的位置， 把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、其次象限、第三象限、第四象限；留意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限；2、点的坐标的概念点的坐标用（ a，b）表示，其次序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开
2、， 横、纵坐标的位置不能颠倒； 平面内点的坐标是有序实数对，当 a（ a，b）和（ b， a）是两个不同点的坐标；学问点二、不同位置的点的坐标的特点1 、各象限内点的坐标的特点b 时，点 Px,y在第一象限点 Px,y在其次象限点 Px,y在第三象限x0, y0x0, y0x0, y0点 Px,y在第四象限x 0, y02、坐标轴上的点的特点点 Px,y在 x 轴上点 Px,y在 y 轴上y 0 ， x 为任意实数x0 ， y 为任意实数点 Px,y既在 x 轴上，又在 y 轴上x，y 同时为零， 即点 P 坐标为（ 0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特点点 Px,y在第一、三象限夹
3、角平分线上x 与 y 相等点 Px,y在其次、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同；5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特点点 P 与点 p关于 x 轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数点 P 与点 p关于 y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数点 P 与点 p关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 Px,y 到坐标轴及原点的距离：（1）点 Px,y到 x 轴的距离等于y（2）点 Px,y到 y 轴的距离等于x（3）点 Px,
4、y到原点的距离等于x2y 2学问点三、函数及其相关概念1 、变量与常量在某一变化过程中， 可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y，假如对于 x 的每一个值， y都有唯独确定的值与它对应，那么就说x 是自变量， y 是 x 的函数；2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式； 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范畴；3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系， 有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法；（2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数
5、y 的对应值列成一个表来表示函数关系， 这种表示法叫做列表法；（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法；4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：依据自变量由小到大的次序，把所描各点用平滑的曲线连接起来；学问点四，正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，假如 ykxb （k，b 是常数， k0），那么 y 叫做 x 的一次函数；特殊地，当一次函数ykxb 中的 b 为 0 时， ykx （k 为常数， k0）；这时， y 叫做 x 的正比例函数；2、一次函数的图像
6、全部一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特点：一次函数 ykxb 的图像是经过点（ 0， b）的直线；正比例函数ykx 的图像是经过原点（ 0，0）的直线；k 的符号b 的符号函数图像图像特点yb0图像经过一、二、三象限，y 随 x0x的增大而增大；k0yb0图像经过一、二、四象限，y 随 x的增大而减小0xK0yb0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时， y 随 x 的增大而增大（2）当 k0k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限；在每个象限内，y 随 x的增大而减小； x 的取值范畴是x0，y 的取值范畴是y0；当 k0
7、 时，函数图像的两个分支分别在其次、四象限；在每个象限内，y随 x 的增大而增大；4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法；由于在反比例函数yk 中，只有一个x待定系数， 因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式；5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数yk k x0 图像上任一点P 作 x 轴、 y 轴的垂线 PM，PN，就所得的矩形PMON的面积 S=PMPN=yx学问点六、二次函数的概念和图像xy ；yk ,xy xk, Sk ；1 、二次函数的概念一般地，假如特 yax2bxca,b, c是常数， a0 ， 特殊留
8、意 a 不为零那么 y 叫做 x的二次函数；yax2bxca,b,c是常数， a0 叫做二次函数的一般式；2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x抛物线的主要特点：b 对称的曲线，这条曲线叫抛物线；2a有开口方向；有对称轴；有顶点；3、二次函数图像的画法五点法：（1）先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M， 并用虚线画出对称轴（2）求抛物线 yax2bxc 与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与 y 轴的交点C，再找到点 C的对称点 D；将这五个点按从左到右的次序连接起来，并向上或向下延长，就得到二次函数的图像；当抛物线与 x
9、 轴只有一个交点或无交点时， 描出抛物线与y 轴的交点 C及对称点 D；由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图；假如需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图 像；学问点七、二次函数的解析式2二次函数的解析式有三种形式：口诀-一 般 两根三顶点（1） 一般一般式：yaxbxca,b, c是常数， a0（2） 两根当抛物线 yax2bxc 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax 2bxc0 有实 根 x1 和x2 存 在 时 ， 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式ax2bxcaxx1 xx2 ， 二 次 函 数yax2bxc 可转化
10、为两根式ya xx1 xx2 ；假如没有交点，就不能这样表示；a的肯定值越大，抛物线的开口越小；（3） 三顶点顶点式：ya xh 2k a, h, k是常数， a0学问点八、二次函数的最值假如自变量的取值范畴是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值 （或最小b4acb 2值），即当 x时， y最值；2a4a假如自变量的取值范畴是x1xx2，那么，第一要看b 是否在自变量取值2ab4 acb 2范畴 x1x x2 内，如在此范畴内，就当x=时， y最值；如不在此范2a4 a围内，就需要考虑函数在x1xx2 范畴内的增减性，假如在此范畴内，y随 x的增大而增大，就当 xx2 时，y最大ax2bx2c ，当 xx1 时， y最小ax2bx1c
