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1、圆章节学问点复习一、圆的概念集合形式的概念：1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1 、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行
2、线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系d1、点在圆内dr点 C 在圆内；A2、点在圆上dr点 B 在圆上；rO Bd3、点在圆外dr点 A 在圆外；C三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点 ；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；rdd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr ；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；dddRrRrRr图 1图 2图3ddrRrR图4图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（ 1）
3、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中， 只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即： AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论；A推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；CDO即：在 O 中， AB CDOE弧 AC弧 BDABCD B例题 1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是（）A 平分一条直径的弦必垂直于这条直
4、径B 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2以下命题中，正确选项（）A 过弦的中点的直线平分弦所对的弧B 过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如下列图， 假如油的最大深度为 16cm，那么油面宽度AB 是 cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，假如油面宽度是48cm，那么油 的最大深度为 cm.3、如图，已知在O 中，弦 ABCD ，且 ABCD ，垂足为 H
5、 ， OEAB 于 E ， OFCD 于 F .（ 1）求证：四边形OEHF 是正方形 .（ 2）如 CH3 ， DH9 ，求圆心 O 到弦 AB 和 CD 的距离 .4、已知： ABC 内接于 O， AB=AC ，半径 OB=5cm ，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求 AB 的长5、如图， F 是以 O 为圆心， BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点， AD BC 于 D ，求证： AD=F1BF.2AE例题 3、度数问题BDOC1、已知：在O 中，弦 AB12cm， O 点到 AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB 的度数和圆的半径.2、已知： O 的半径 OA1 ，弦 A
6、B、AC 的长分别是2 、3 .求BAC 的度数；例题 4、相交问题如图，已知O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点E， AE=6cm ， EB=2cm ， BED=30 ，求 CD 的长 .CEABOD例题 5、平行问题在直径为50cm 的 O 中，弦 AB=40cm ，弦 CD=48cm ，且 AB CD ，求： AB 与 CD 之间的距离 .例题 6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ,b .求证： ADBD22ab.例题 7、平行与相像已知： 如图， AB 是 O 的直径， CD 是弦， AECD 于E ，BFCD 于 F
7、 .求证：ECFD .六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等；此定理也称1推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，就可以推出其它的3 个结论，E即：AOBDOE ； ABDE ；FODACB OCOF ；弧 BA弧 BD七、圆周角定理1、圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；C即：AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角AOB2ACBBOA2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的DC圆周角所对的弧是等弧；即：在 O 中，C 、D 都是所对的圆周角BOCD推论
8、2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧弦是直径；A CB A是半圆，所对的O即：在 O 中， AB 是直径或C90C90 AB 是直径C推论3：如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；即：在ABC 中， OCOAOB ABC 是直角三角形或BAOC 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；【例 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，依据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个确定是半圆环形？【例 2】如图，已知O中， AB为直径， AB=10cm，弦 AC=6cm， ACB的平分线交 O
9、于 D，求 BC、 AD和 BD的长【例 3】如下列图，已知AB为 O的直径， AC为弦， ODBC，交 AC于 D， BC=4cm（ 1）求证： AC OD；（ 2）求 OD的长；（ 3）如 2sinA 1=0，求 O的直径【例 4】四边形ABCD中， AB DC， BC=b， AB=AC=AD=，a 如图，求BD的长【例 5】如图 1， AB是半 O的直径，过A、B 两点作半 O 的弦，当两弦交点恰好落在半O 上 C 点时，就有2AC AC BC BC=AB2（ 1）如图 2，如两弦交于点P 在半 O内，就 AP AC BP BD=AB是否成立？请说明理由2（ 2）如图 3，如两弦 AC、
10、BD的延长线交于P 点，就 AB=参照（ 1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角；即：在 O 中，CD四边形ABCD 是内接四边形CBAD180BD180BAEDAEC例 1、如图 7-107 ， O中，两弦ABCD， M是 AB的中点，过M点作弦 DE求证： E， M， O， C四点共圆九、切线的性质与判定定理（ 1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不行即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端 MN 是 O 的切线O（ 2）性质定理：切线垂直于过
11、切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推肯定理：MAN即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即： PA 、 PB 是的两条切线B PAPBPO 平分BPAOPA利用切线性质运算线段的长度例 1： 如图，已知： AB是 O的直径， P 为延长线上的一点，PC切 O于 C，CDAB于 D，又 PC=4， O的半径为 3求： OD的长利用切线性质运算角的度数例 2： 如图
12、，已知： AB 是 O的直径， CD切 O于 C，AE CD于 E， BC的延长线与AE的延长线交于F，且 AF=BF求： A 的度数利用切线性质证明角相等例 3： 如图，已知： AB 为 O的直径，过A 作弦 AC、AD，并延长与过B 的切线交于M、N求证： MCN= MDN利用切线性质证线段相等例 4： 如图，已知： AB 是 O直径， CO AB， CD切 O于 D， AD交 CO于 E求证： CD=CE利用切线性质证两直线垂直例 5： 如图，已知：ABC中， AB=AC，以 AB 为直径作 O，交 BC于 D， DE切 O于 D，交 AC于 E求证： DE AC十一、圆幂定理（ 1） 相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等；D BO即：在 O 中，弦AB 、 CD 相交于点P ，P PAPBPC
