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1、一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课教学目标一提高同学对于根的判别式的运用才能；二提高同学对于根与系数关系的运用才能.教学重点和难点重点：会用根的判别式及根与系数关系解题.难点： 根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、 不重复地列出所解问题应具备的条件 .特殊是简洁忽视隐含条件.教学设计过程一复习1.已知一元二次方程ax2+bx+c=0 a 0.(1) 它的根的判别式是什么.用什么记号表示根的判别式.b2-4ac,用表示 (2) 表达一元二次方程根的判别式的性质. 一元二次方程ax2+bx+c=0 a 0当 0 时，有两个不相等的实数根；当=0 时，有两个相等的实数根；当0 时，没有
2、实数根 .反过来也成立，即有两个不相等的实数根时，0，有两个相等的实数根时，=0 ；没有实数根时，02.1已知 x1,x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0a0的两个根，那么x1+x2=.,x1 x2=.2 上述性质的逆命题怎样表达.此逆命题是否成立.3.对于根的判别式和根与系数关系的性质，我们从正、反两方面即原命题与逆命题 都知道了，并初步做了有关练习，但涉及这两个性质的综合性较强的问题，仍需要训练 .二综合举例例1当m分别满意什么条件时，方程2x2-4m+1x +2m 2-1=0,（ 1）有两个相等实根； （2）有两个不相实根； （3）无实根；4 有两个实根 .22解： =（ 4m+1）
3、 -4 2（ 2m-1 ） =8m+9（ 1）当 =8m+9=0，即m= -（ 2）当 =8m+9 0，即m -（ 3）当 =8m+9 0，即m -29时，方程有两个相等的实根；89时，方程有两个不等的实根；89 时，方程没有实根 .8例2求证：关于 x的方程 x +m+2x+2m-1=0有两个不相等的实数根；分析： 1 要证方程有两个不相等的实数根，就是证明其根的判别式要大于零 .2 对于一个含有字母的代数式，要判定其正负，通常下面方法：通过配方变为“一个完全平方式 +正数”；或变为“ -（）2正数” .解答过程略1例3（ 1）已知关于 x的方程 3x2+6x-2=0 的两根为 x值.， x
4、2，求 11 的x1x2分析：已知方程，求两根组成代数式的值；这里主要说明解题格式，同学完成过程 .2（2） ） 已知关于 x的方程 3x -mx-2=0的两根为 x1 ， x2， 且12113，求 m的值；求 x 2+x的值.2x1x2例 4P 为何值是，方程x2+3x+3+Px2+x=0(1) 有两个相等实根； 2试作一个一元二次方程， 使 P 的这些值是这个方程的根.分析：从根的判别式性质，可求出P 值，从而写出所求的一元二次方程.但依据方程根的性质，可使解题过程简洁些.解：欲使方程 x2+3x+3+px2+x=0 有等根， 就方程 1+px2+3+px+3=0 的根的判别式应等于零 .
5、即 =3+P2-121+p=0,整理，得 p2-6p-3=0.由已知 P 是所求方程的根，因此二次方程x2-6x-3=0 就是所求方程 .例 5 如 ，是方程 x2+x-1=0 的两根，求证： 1 2= +2,2= +2;分析：由根与系数关系及方程根的定义，列出有关等式，由此得出1的结论.证明：由 , 是方程 x2+x-1=0 的两根，得 2+-1=0, 2+-1=0.由根与系数关系，得 +-1=,-=1.由，得=-1,式平方，得 2= 2+2 +1.由 2= 2+ + +1=-1+2+2把,由=-1,代入，得 2=0+ +所2,以 2= +2.式平方，得2=2+2+1,由 2= 2+ + +
6、1=-12+2把, 代入，得 2=0+ +所2,以 2= +2;例 6m 取什么值时，方程.(1) 有两个实根；2有一个根为零；3两根异号；4有两个正数根 .解： 1=-2m2-42m-1=4m-8m+4=-4m+4=4-m+1.令 0即,4-m+10，所以 m1. 又由 m 可知，必需 m 0 ，把，结合在一起，当0 m1时，原方程有两个实根；留意此问的解答中，简洁忽视条件.(2) 由已知，两根之积为零，即2m-1=0,所以 m=时，原方程有一个根为零；(3) 由已知，两根之积为负值，即2m-1 0,所以 m时，原方程两根异号；(4) 设两根都是正数， 应先把已知条件转化为方程或不等式，再运
7、算出 m 值.由 x10,x20，所以 x1+x20 及 x1x20,即但是仅凭条件，仍不足以说明两根都是正数，仍必需有条件 0,即=4-m+1 0. 由，得不等式组答：当m1时，原方程有两个正数根.留意：假如忽视了条件，即答m 时原方程有两个正数根，这个答案就错了.例如取 m=4，原方程为 x2-4x+7=0,但是这个方程的根的判别式. =-42-4即方程 x2-4x+7=0 没有实根，也就没有正根了.三课堂练习7=-8 0，取什么值时，关于x 的二次方程 x2+2ax+2a2-1=0 的两根中至少有一个是正根.提示：两根中至少有一个正根， 包括三种情形 1两根都是正数； 2一个正根， 一个
8、负根； 3一个正根，一个根为零.由1，列出条件组四小结1.在用根的判别式及根与系数关系解题时，不要忽视隐含条件， 像例 3 第4问中的条件 0.2.在运算时，也不要忽视算式隐含的条件， 像例 3 第1中隐含的条件 m0.五作业1.求作一个一元二次方程，使其根与已知方程ax2+bx+c=0 的根的比为 m.2.假如一元二次方程ax2+bx+c=0a0的 二根之比为 2:3,求证： 6b2=25ac.3.已知 u=16x2+12x+39,=9x-22x+11,求：对于二次式u+k 是一个完全平方式的常数 k的值.4.c 为实数，且 x2-3x+c=0 中有根一相反数是方程x2+3x-c=0 的一个
9、根，求方程 x2-3x+c=0的根.5.k 是什么值时，关于 x 的方程k2-1x2-6xk-1x+72=0 有两个不相等的正整数根.作业的答案或提示2.由于原方程两根之比为2：3，所以可设两根为2k，3k，于是4.设 a 是 x2-3x+c=0 的一个根，且是方程x2+3x-c=0 的根，就有-得 2c=0,所以 c=0,代入 x2-3x+c=0, 得 x2-3x=0，解此方程得 x1=0,x2=3.5.由于方程要有两个根，此方程必定是一元二次方程，二次项系数必定不是零即 k2-10 得 k 1,又由于两实根不相等， 0.即-63k-12-4 72k2-1 0,得 k 3.要使 x1,x2
10、都是整数，必需 k+1 能整除 12，且 k-1 能整除 6.由 k+1 能整除 12，k+1 可为 1,2,3,4,6,12 即 k 可为 0,1,2,3,5,11. 由 k-1 能整除 6，k-1 可为 1,2,3,6 即 k 可为 2,3,4,7.由，的共同解为 k=2,k=3,但由知 k3所, 答： k=2 时，原方程有两个不相等的正整数根 . 留意：不要忽视原题中一些关键词所含的条件 .以只能取 k=2.像“两个”，限定了 k，1像“不相等 ”，限定了 0，即 k3，像“正整数 ”，限定了 k+1 可为 1,2,3,4,6,12 且 k-1 可为 1,2,3,6.课堂教学设计说明1.在复习旧学问时，把根的判别式及根与系数关系的原定理与逆定理都提出，并着重提醒同学记住 .2.例 1 不仅用到根的判别式性质， 仍用到方程根的概念 .例 2 不仅用到根与系关系，仍用到了方程根的概念 .这两个例题中的 “方程的根 ”这个条件简洁被忽视 .3.综合运用根的判别式性质与根与系数关系时，往往简洁忽视某些条件 .例 3就是要说
