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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -数列的分类数列学问框架的概念数列的通项公式函数角度懂得数列的递推关系等差数列的定义 anan 1d n2等差数列的通项公式 ana1n1d等差数列等差数列的求和公式 Sn aa nan n1) dn1n122等差数列的性质 anamapaq mnpq两个基等比数列的定义本数列anan 1q n2等比数列的通项公式aa qn 1等比数列n1aa qa 1q n 数列等比数列的求和公式Sn1n11q1q q1na1q1等比数列的性质公 式 法 分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证
2、明分期付款anamap aq mnpq 数列的应用其他把握了数列的基本学问，特殊是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，把握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺当地解决数列问题；一、典型题的技巧解法1、求通项公式（ 1）观看法；（2）由递推公式求通项；对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题；1 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d， q 为常数） 例 1、已知 a n 满意 an+1=an+2，而且 a1=1；求 an；例 1 、解 an+1-a n=2 为常数 a n 是首项为1，公差为2 的等
3、差数列n an=1+2（ n-1 ）即 an=2n-1例 2、已知 an 满意an 11 a ，而 a 212 ，求an =？1 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 2）递推式为 an+1=an+f （ n）例 3、已知 an 中 a11， an 1an214 n2，求 an .1解：由已知可知an 1a n2n11 2n11122n112n1令 n=1， 2，（ n-1 ），代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a2-a 1） +（ a3-a 2）+（ an-a n-1 ）an
4、a11 1212n14n34n2说明只要和f （ 1） +f （ 2）+f （n-1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1， 2，（ n-1 ）代入，可得n-1 个等式累加而求an；(3) 递推式为 an+1=pan+q（ p，q 为常数）例 4、 an 中，a11 ，对于 n 1（n N）有 an3an 12 ，求an .解法一：由已知递推式得an+1=3an+2， an=3an-1 +2；两式相减：an+1-a n=3（ an-a n-1 ）因此数列 a n+1-a n 是公比为3 的等比数列，其首项为a2-a 1=（ 3 1+2） -1=4 an-1n-1n-1n+
5、1-a n=43 an+1=3an+2 3an+2-a n=4 3即 a n=2 3-12n-2解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为3 的等比数列， 于是有： a2-a 1=4，a3-a 2=43，a4-a 3=43 ， ，an-a n-1 =43，把 n-1 个等式累加得： an=23n-1-1(4) 递推式为 an+1=p a n+q n （p，q 为常数）bb2 bb由上题的解法，得：b2 n abn1n1 nn 1nnn 13n323n2n3223(5) 递推式为an 2pan 1qan2 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word
6、资料 - - - - - - - - - - - - - - -思路：设an 2pan 1qan , 可以变形为：an 2an 1an 1an ，想于是 a n+1- an 是公比为的等比数列，就转化为前面的类型；求 an ；(6) 递推式为 Sn 与 an 的关系式关系；（ 2）试用 n 表示 an； Sn 1Sn anan 1 1n 2212n 1 a n 1a na n 112 n 1 an 1112 a n2n上式两边同乘以2n+1 得 2n+1a=2na +2 就2 na 是公差为 2 的等差数列；n+1nnn 2 an= 2+ （ n-1 ） 2=2n3 第 3 页，共 15 页
7、- - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和；2、错项相减法：适用于差比数列（假如an等差，bn等比，那么an bn叫做差比数列）即把每一项都乘以bn的公比 q ，向后错一项， 再对应同次项相减， 转化为等比数列求和；3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和；适用于数列1和anan 11anan 1（其中an等差）可裂项为：1111 ，11 aa anan 1danan 1n 1nanan
8、 1d等差数列前 n 项和的最值问题：1、如等差数列an的首项a10 ，公差 d0 ，就前 n 项和Sn 有最大值；（）如已知通项an ，就Sn 最大an0；an 10n（）如已知Spn 2qn ，就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最大；2、如等差数列an的首项a10 ，公差 d0 ，就前 n 项和Sn 有最小值（）如已知通项an ，就Sn 最小an0；an 10（）如已知Snpn 2qn ，就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最小；数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式；已知Sn （即 a1a2Lanfn ）求an ， 用作差法 ： anS1 ,
9、n1；f 1,n1SnSn 1, n2已知 a1 ga2 gL ganf n 求 an ， 用作商法：anf n, n2) ；f n1已知条件中既有Sn 仍有an ，有时先求Sn ，再求an ；有时也可直接求an ；如 an 1anf n求 an 用累加法 ： an anan 1 an 1an 2 La2a1 a1 n2 ；已知an 1f n 求 a， 用累乘法 ： aanan 1La2a n2 ；nnanan 11an 2a1已知递推关系求an ， 用构造法 （构造等差、等比数列）；4 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - -
10、 - - - - - - - - - - -特殊地 ，（1）形如akab 、 akab （k, b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转nnn 1nn 1化为公比为k 的等比数列 后，再求an ；形如 ankan 1k n 的递推数列都可以除以k n 得到一个等差数列后，再求an ；an 1（ 2）形如 ankan 1的递推数列都可以用倒数法求通项；b（ 3）形如aa的递推数列都可以用对数法求通项；kn 1n（ 7）（理科） 数学归纳法 ；（ 8）当遇到an 1a n 1d或 an 1an 1q 时， 分奇数项偶数项争论， 结果可能是分段形式；数列求和的常用方法：（ 1）公式法 ：等差数列求和公式；等比数列求和公式；（ 2） 分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和；（ 3） 倒序相加法 ：如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，就常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.（ 4） 错位相减法
