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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -成青数学系列笔记2021.2.18排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法敏捷，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口；因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，防止重复遗漏外，仍应留意积存排列组合问题得以快速精确求解；一 直 接法1 特别元素法例 1 用 1 ，2 ， 3，4 ， 5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满意以下条件的四位数各有多少个（ 1 ）数字 1 不排在个位和千位A（2）数字 1 不在个位，数字6 不在千位；A分析：（1 ）个位和千位有5 个数字可供
2、挑选2 ，其余 2 位有四个可供挑选A2 ，由乘法原理：22 =2404A5542 特别位置法（ 2 ）当 1 在千位时余下三位有3A5 =60 ， 1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下的有2A4 ，共有44AA44411 A2 =192所以总共有 192+60=252432二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采纳间接法；如上例中（2 ）可用间接法A62 A5A4 =252例 2有五张卡片，它的正反面分别写0 与 1 ， 2 与 3， 4 与 5 ， 6 与 7， 8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0 与
3、 1 卡片用与不用，且用此卡片又分使用0 与使用 1，类别较复杂，因而可使用间接计333222算：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 52A3 个，其中0 在百位的有 C 42A2 个，这是不合题333222意的；故共可组成不同的三位数C 52A3 - C 42A2 =432 （个）三 插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法；例 3在一个含有8 个节目的节目单中，暂时插入两个唱歌节目，且保持原节目次序，有多少中插入方法？11分析：原有的8 个节目中含有9 个空档，插入一个节目后，空档变为10 个，故有A9A10 =100中插入方法；四 捆绑法当需排元素中有必需相邻的元素时，宜用捆绑法
4、；例44 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必需排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有A 4 种排法，而男生之间又有A4 种排法，又乘法原理满意4444条件的排法有：A4 A4 =576练习 1 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，如使每个盒子不空，就不同的放法有种（ C 2 A3 ）432 某市植物园要在30 天内接待20 所学校的同学参观，但每天只能支配一所学校，其中有一所学校人数较多，要安119排连续参观2 天，其余只参观一天，就植物园30 天内不同的支配方法有（C 29A28 ）（留意连续参观2 天，即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为
5、一个整体来选有1C29 其余的就是19 所学校选28 天进行排列） 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -成青数学系列笔记2021.2.18五 阁板法名额安排或相同物品的安排问题，相宜采阁板用法例 5某校预备组建一个由12 人组成篮球队，这12 个人由 8 个班的同学组成，每班至少一人，名额安排方案共种 ；分析：此例的实质是12 个名额安排给8 个班，每班至少一个名额，可在12 个名额种的11 个空当中插入7 块闸板，一C种7种插法对应一种名额的安排方式，故有11练习 1.a+b+c+
6、d15 有多少项？110当项中只有一个字母时，有C 4 种（即 a.b.c.d 而指数只有15 故 C 4C14 ；2121当项中有 2 个字母时，有C 4 而指数和为15 ，即将 15 安排给 2 个字母时，如何分，闸板法一分为2， C14 即 C 4C14332当项中有 3 个字母时C 4 指数 15 分给 3 个字母分三组即可C 4 C1443当项种 4 个字母都在时C 4C14四者都相加即可练习 2有 20 个不加区分的小球放入编号为1 ， 2 ，3 的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（2C16 ）C）993不定方程X1 +X 2 +X 3 +X 50
7、 =100 中不同的整数解有（49六 平均分堆问题例 66 本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a 1,a2） ,a3 ,a4 ，（ a5 ,a6 ）由次序不同可以有A 3 =6 种，而这 6 种分法只算一种分堆方式，故6 本3C 2 C 2C 2不同的书平均分成三堆方式有642A33=15 种练习： 1 6 本书分三份， 2 份 1 本， 1 份 4 本，就有不同分法？2 某年级 6 个班的数学课，安排给甲乙丙三名数学老师任教，每人教两个班，就分派方法的种数；七合并单元格解决染色问题例 7（全国卷（文、理） ）如图 1 ，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要
8、求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供挑选，就不同的着色方法共有种（以数字作答） ；分析：颜色相同的区域可能是2 、3、4 、5 下面分情形争论: 当 2 、4 颜色相同且3、5 颜色不同时，将2 、4 合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4 个元素4的全排列数A42,44（）当 2、4 颜色不同且3 、5 颜色相同时，与情形 类似同理可得A4种着色法（）当2、4 与 3 、5分别同色时，将2 、4； 3 、5 分别合并，这样仅有三个单元格2,43,5从 4 种颜色中选3 种来着色这三个单元格，计有33C4A3 种方法 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师
9、归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -成青数学系列笔记2021.2.184由加法原理知：不同着色方法共有2 A4练习 1 （天津卷（文） ）将 3 种作物种植33C 4 A3 =48+24=72（种）12345在如图的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物， 不同的种植方法共种（以数字作答）（ 72 ）2 （江苏、辽宁、天津卷（理）某城市中心广场建造一个花圃，花圃6 分为个部分（如图3 ），现要栽种4 种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答） （ 120 ）561423
10、BACD E图 3图 43 如图 4 ，用不同的5 种颜色分别为ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，就符合这种要求的不同着色种数（540 ）4 如图 5 ：四个区域坐定4 个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必需穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（ 84 ）A413BE2CD图 5图 65 将一四棱锥 图 6 的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如只有五种颜色可供使用，就不同的染色方法共种（ 420 ）八 递 推法例八 一楼梯共 10 级，假
11、如规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10 级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上n 级楼梯的走法为an 种，易知 a1 =1,a 2=2, 当 n 2 时，上 n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最终一步跨 一 级 ， 有 an-1种 走 法 ， 第 二 类 是 最 后 一 步 跨 两 级 ， 有an-2 种 走 法 ， 由 加 法 原 理 知 ： an =a n-1 +an-2 , 据 此 ，a3 =a 1 +a 2=3,a 4=a # +a 2=5,a 5 =a 4 +a 3=8,a 6=13,a 7 =21,a 8 =34 ,a9 =55,a 10 =89. 故走上 10 级楼梯共有
12、89 种不同的方法；九.几何问题1四周体的一个顶点位A, 从其它顶点与各棱中点取3 个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种3（3 C5 +3=33）2. 四周体的棱中点和顶点共10 个点（ 1 ）从中任取3 个点确定一个平面，共能确定多少个平面？3 C10 -4C 3 +4-33C 4 +3-6C34 +6+2 6=296442 以这 10 个点为顶点， 共能确定多少格凸棱锥？三棱锥C10 4 -4C 6 4 -6C 4 -3C 4 =141四棱锥6 44=96 3 6=18共有114十先选后排法 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料
13、 - - - - - - - - - - - - - - -成青数学系列笔记2021.2.18例 9 有甲乙丙三项任务， 甲需 2 人承担， 乙丙各需 1 人承担， 从 10 人中选派 4 人承担这三项任务， 不同的选派方法有 （）A.1260 种B.2025 种C.2520种D.5054 种分析：先从10 人中选出 2 人十一用转换法解排列组合问题例 10 某人连续射击8 次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种解把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题A 2 =20 种5例11 个人参与秋游带10 瓶饮料，每人至少带1 瓶，一共有多少钟不同的带法解
