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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -一、等差数列学习必备精品学问点1. 等差数列的定义：anan 1d （ d为常数）（ n2 ）；2等差数列通项公式：aan1ddnad nN * ，首项 : a ，公差 :d ，末项 : an111n推广：anamnm d从而 danam；nm3等差中项（ 1）假如 a ， A ， b 成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项即：Aab 或 2 Aab2（ 2）等差中项：数列a n是等差数列2a na n-1a n 1 n22 an 1a nan 24 等差数列的前n 项和公式：Sna1nan n
2、a1nn1dd2na11d nAn2Bn2222（其中 A、B是常数，所以当d 0时， Sn是关于 n的二次式且常数项为0）特殊地，当项数为奇数2n1 时， an1是项数为2n+1 的等差数列的中间项S2n 12 n1a12a2 n 12n1an 1 （项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5 等差数列的判定方法（ 1） 定义法：如a nan 1d 或 an 1and 常数 nNa n是等差数列（ 2） 等差中项：数列a n是等差数列2a nan-1a n 1 n22an 1a na n 2 数列an是等差数列a nknb （其中k, b 是常数）；（ 4）数列a n是等差数列SAn
3、2Bn , （其中 A、B是常数）；n6 等差数列的证明方法定义法：如ana n 1d 或 a n 1a nd 常数 nNa n是等差数列7. 提示 ：（ 1） 等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5 个元素：a1 、 d 、 n 、 an及 Sn ，其中a1 、 d 称作为基本元素；只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2 ；（ 2）设项技巧：一般可设通项ana1n1d 奇数个数成等差，可设为，a2d , ad , a, ad , a2d（公差为d ）； 偶数个数成等差，可设为，a3d , ad , ad , a3d ,（ 留意；公差为2 d ）8. 等差
4、数列的性质：（ 1）当公差 d0 时，等差数列的通项公式ana1 n1ddna1d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差d ；n前 n 和 Snan n1 dd n2ad n 是关于 n 的二次函数且常数项为0.11222（ 2）如公差 d0 ，就为递增等差数列，如公差d0 ，就为递减等差数列，如公差d0 ，就为常数列；（ 3）当 mnpq 时, 就有 a ma na pa q ，特殊地，当mn2 p 时，就有 aman2 a p .注： a1ana2an 1a3an 2， 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - -
5、 - - - - - - -学习必备精品学问点（ 4）如an、bn为等差数列，就anb， 1an2bn都为等差数列5如an 是等差数列，就Sn , S2 nSn , S3nS2n，也成等差数列（ 6）数列 a 为等差数列 ,每隔 kk*N项取出一项 a , a, a,a,仍为等差数列nmm km 2km 3k（ 7）设数列a n是等差数列， d 为公差，S奇 是奇数项的和，S偶 是偶数项项的和，Sn 是前 n 项的和1. 当项数为偶数2n 时，n a1a2n 1S奇a1a3a5a2n 1n a22a2 nnanS偶a2a4a6S偶S奇nan 1nana2n2nan 1annan 1S奇nanS
6、偶nan 1anan 12、当项数为奇数2n1时，就S2 n 1S奇S偶S奇S偶2 n an+11) an+1S奇n S偶1an+1 nan+1S奇n1 S偶n（其中 an+1 是项数为2n+1 的等差数列的中间项） （ 8）、 b 的前 n 和分别为AnA 、 B ，且f n ，n就 anbn2n2n1an 1bnnA2n 1B2n 1nf 2nBn 1 .（ 9）等差数列 an 的前 n 项和 Smn ，前 m 项和 Snm ，就前 m+n 项和Sm nmn10 求 Sn 的最值法一：因等差数列前n 项是关于 n 的二次函数， 故可转化为求二次函数的最值，但要留意数列的特殊性法二：（ 1）
7、“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是全部非负项之和nN * ；即当 a10， d0，由anan 10可得 Sn 达到 最大值 时的 n 值0（ 2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是全部非正项之和；即 当 a10， d0， 由an an 10可得 Sn 达到 最小值 时的 n 值或求0a n中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，pqSn 取最大值（或最小值） ；如 Sp =Sq 就其对称轴为n2留意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于a1 和 d 的
8、方程；奇妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，削减运算量二、等比数列 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点1. 等比数列的定义：anan 1qq0n2, 且nN *， q 称为 公比2. 通项公式：aa q n 1a1 q nAB naq0, A B0，首项：a ；公比： qn1q11推广： ana qn m ，从而得q n man 或 qn m anamamm3. 等比中项（ 1）假如a, A, b 成等比数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项即：
9、A2ab 或 Aab留意： 同号的 两个数 才有 等比中项，并且它们的等比中项有两个 （两个等比中项互为相反数）（ 2）数列2a是等比数列aaannn 1n 14. 等比数列的前n 项和Sn 公式：(1) 当 q1 时，Snna1(2) 当 q1 时， Sna1 1qn1qa1a11a1q nan q qAAB nA B nA （A, B, A , B 为常数）1q1q5. 等比数列的判定方法（ 1）用定义：对任意的n,都有an 1aqa 或qq为常数， a0 a 为等比数列an 1nnnn2（ 2） 等比中项：anan 1an1 （ an1an 10） an 为等比数列（ 3） 通项公式：a
10、nA BnA B0 an 为等比数列nn（ 4） 前 n 项和公式：SAA Bn 或SA BnA A, B, A ,B 为常数 an 为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：如anqq0n*2,且nN或 aqa a 为等比数列an 1n 1nn7. 留意（ 1） 等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5 个元素：a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ，其中a1 、 q 称作为基本元素；只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2；（ 2） 为削减运算量，要留意设项的技巧，一般可设为通项；aa qn 1n1如奇数个数成等差，可设为，8. 等比数列的性质aa22 , a, aq, aq qq（公比为q ，中间项用a 表示）；(1) 当 q1 时 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点等比数列通项公式aa qn 1a1 q nA B nA B0是关于 n 的带有系数的类指数函数，底为公比qn1qa1qnn1前 n 项和 Sna1a1qa1a1qnAA
