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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载建立空间直角坐标系的几种常见思路坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系依据空间几何图形的结构特点，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系， 是运用坐标法解题的关键下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略一、利用共顶点的相互垂直的三条棱构建直角坐标系例 1已知直四棱柱ABCD A1B1C1D 1 中，AA 1 2，底面 ABCD 是直角梯形， A 为直角，AB CD ， AB 4，AD 2， DC 1，求
2、异面直线BC1 与 DC 所成角的余弦值解析：如图1，以 D 为坐标原点，分别以DA、DC 、DD 1 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，就C1（， 1， 2）、B（ 2， 4，）， BC12， 3，2 ， CD0， 1，0 设 BC1 与 CD 所成的角为，就 cosBC1 CD BC1 CD31717二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例 2如图 2，在三棱柱ABC A1B1C1 中， AB侧面 BB1C1 C， E 为棱 CC 1 上异于 C、C1 的一点， EAEB 1已知 AB正切值2 ， BB1 2，BC 1， BCC1求二面角A EB1 A1 的平面角的3解析：如图2，以
3、 B 为原点，分别以BB1、BA 所在直线为y 轴、 z 轴，过 B 点垂直于平面AB1的直线为x 轴建立空间直角坐标系由于 BC 1， BB1 2， AB2 ， BCC1 ，3在三棱柱ABC A1B1 C1 中，有 B（，）、A（，2 ）、B（1，2，）、c3 ， 1 ，0、2233C1， ，022设 E3 ， a，0且1a3 ，222由 EA EB1，得EA EB10 ，即3 ，a， 23 ，2a，022 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载32313a a2a
4、2 a0 ，aa0 ，4422即1331a或 a（舍去）故 E，02222由已知有EAEB1 ，B1 A1EB1，故二面角AEB1 A1 的平面角的大小为向量B1A1 与 EA的夹角因 B1 A1BA0，0，2 ， EA3 ， 1 ， 2故 cosEA B1 A1 EA B1 A1222 ，即 tan232三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例 3如图 3，在四棱锥 V ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形， 平面 VAD底面 ABCD （ 1）证明 AB平面 VAD；（ 2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值解析：（ 1）取 AD 的中点 O 为原点，
5、建立如图3 所示的空间直角坐标系设 AD 2，就 A（ 1，） 、D（ 1，） 、B（1， 2，）、V（，3 ）， AB （， 2，）， VA （ 1，3 ）由 AB VA0，2，0 1，0，30 ，得ABVA又 AB AD，从而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线VA、 AD 都垂直，AB平面 VAD；（ 2）设 E 为 DV 的中点，就E1 ，0， 322 EA3 ，0，3 ， EB3 ，2，3， DV1，0， 3 2222 EB DV3 ，2，31，0，30 ，22 EBDV 又 EA DV，因此 AEB 是所求二面角的平面角 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -
6、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载 cosEA，EBEA EB21EA EB7故所求二面角的余弦值为21 7四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例 4已知正四棱锥V ABCD 中， E 为 VC 中点，正四棱锥底面边长为2a，高为 h（ 1）求 DEB 的余弦值；（ 2）如 BE VC，求 DEB 的余弦值解析：（1）如图 4，以 V 在平面 AC 的射影 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中 O xBC， Oy AB，就由AB 2a， OV h，有 B（a， a，）、C（ -a， a，）、D （-a， -a
7、，）、V（ 0，0，aahh）、 E， ，2 2 2 BE3 a， ahDEa3 a h，222，222BE DE6a 2h 2 cosBE，DEBEDE，10a 2h26a 2h2即 cos DEB22 ；10ah（ 2）由于 E 是 VC 的中点，又BE VC，所以 BE VC0 ，即3 a， aha， a，h 0 ，22222 3 a2ah0 ， h2a 2226a 2h211这时 cosBE，DE2210ah，即 cos DEB33引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题防止了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤
8、之一下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有肯定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载例 5 已知两个正四棱锥PABCD 与Q ABCD 的高都为2，AB 4（ 1）证明： PQ平面 ABCD ；（ 2）求异面直线AQ 与 PB 所成的角；（ 3）求点 P 到平面 QAD 的距离简解：（ 1）略；（ 2）由题设知
9、，ABCD是正方形，且AC BD 由（ 1）， PQ 平面ABCD ，故可分别以直线CA， DB， QP为x ，y ，z轴 建 立空 间直 角坐 标系 （如 图1 ），易 得AQ22，0，2，PB0，22，2 ， cosAQ，PBAQ PB1AQPB3所求异面直线所成的角是arccos 1 3（ 3）由（ 2）知，点D 0，22，0，AD22，22，0，PQ0，0，4 设n= （ x ， y， z）是平面QAD的一个法向量，就n AQ0，得2 xz0，取x 1，得n AD0，xy0，n = 1， 1，2 点 P 到平面 QAD 的距离 dPQ n n22 点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应简单得出第（ 3）问也可用“等体积法”求距离 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -
