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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -平面对量 复习基本学问点及经典结论总结1、向量有关概念：（1） 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示，留意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） ；如已知 A （1,2），B （ 4,2），就把向量AB 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是 （答：（3,0 ）（2） 零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，留意 零向量的方向是任意的；（3） 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB 共线的单位向量是（4） 相等向量 ：
2、长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；AB ；| AB |（5） 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作：a b ， 规定零向量和任何向量平行；提示 ：相等向量肯定是共线向量，但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（由于有 0 ；三点 A、B、C 共线AB、AC共线；（6） 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是a ；如以下命题：（ 1）如 ab ，就 ab ；（2）两个向量相等的充要条件是它
3、们的起点相同，终点相同；（ 3）如 ABDC，就 ABCD是平行四边形； （4）如 ABCD 是平行四边形，就ABDC ；（ 5）如ab,bc ，就 ac ；（ 6）如a / b,b / c ，就a / c ；其中正确的是 （答：（4）（5）2、向量的表示方法：（ 1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，留意起点在前，终点在后；（ 2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i， j为基底，就平面内的任一向量a 可表示为axiy jx, y，称x, y 为向量 a 的坐标，
4、a x, y 叫做向量 a 的坐标表示；如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；3. 平面对量的基本定理：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 、2 ，使 a=1 e12 e2；如（ 1）如 a1,1,b1, 1,c1,2 ，就 c （答： 1 a3 b ）；（ 2）以下向量组中，能作为平面内全部向量基底的是A.e0,0, e1, 2122213B. e11,2, e25,7C. e13,5, e26,10D. e12,3, e2,（答： B ）；（ 3）已知2424AD , BE 分别是ABC 的边 BC, AC
5、 上的中线 ,且ADa, BEb ,就 BC 可用向量a,b 表示为 （答：ab ）；（ 4）已知ABC 中，点 D 在 BC 边上，33且 CD2 DB， CDr ABs AC，就 rs 的值是 （答： 0）4、实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：1aa ,2当0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当0 时，a 的方向与 a 的方向相反，当 0 时，a0 ， 留意 ：a 0； 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -5、平面对量的数量积：
6、（1） 两个向量的夹角：对于非零向量a ， b ，作OAa ,OBb ，AOB0称为向量 a ， b 的夹角，当 0 时， a ， b 同向，当时， a ， b 反向，当时， a ， b 垂直；2（2） 平面对量的数量积：假如两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量| a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积），记作： ab ，即 ab a b cos；规定：零向量与任一向量的数量积是0， 留意数量积是一个实数，不再是一个向量；如 （ 1 ） ABC中 ，11| AB |3 ，| AC |4 ， | BC |5 ， 就AB BC（ 答 ： 9 ）；（ 2 ） 已
7、 知a1,b0, cakb , dab ，c 与 d 的夹角为，就 k 等于 （答：1）；（3）已知 a2, b5, a b3 ，就 ab22等于 （答：23 ）；（ 4） 已知4a, b 是两个非零向量，且abab ，就a与ab 的夹角为 （答： 30 ）（3） b 在 a 上的投影 为 | b | cos12，它是一个实数，但不肯定大于0；如已知 | a |3 ， | b |5 ， 且 a b12 ，就向量 a 在向量 b 上的投影为 （答：）5（4） ab 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积；（5） 向量数量积的性质：设两个非零向量a ，
8、 b ，其夹角为，就： abab0 ；当 a ， b 同向时， ab a b ，特殊地，22aaaa2, aa；当 a 与 b 反向时， ab a b ；当为锐角时， ab 0，且 a、b 不同向， ab0 是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时， ab 0，且 a、b 不反向， ab0 是为钝角的必要非充分条件；非零向量 a ， b 夹角的运算公式：cosab ； | ab | | a | b | ；如（ 1） 已知 a a b,2 ， b3,2 ，假如 a与 b 的夹角为锐角，就的取值范畴是 （答：4 或0 且31 ）；（2）已知OFQ 的面积为 S ，且 OFFQ1 ，3如 1S3 ，就
9、OF , FQ 22夹角的取值范畴是 （答： , ）；（ 3）已知 a43cos x,sinx, bcos y,siny,a 与 b之间有关系式kab3 akb, 其中k0 ，用 k 表示 a b ；求 a b 的最小值，并求此时a 与 b 的夹角的大小（答： a bk 21 k4k0) ；最小值为1 ，60 ）26、向量的运算 ：（1） 几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法就”进行，但“平行四边形法就”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法仍可利用“三角形法就”：设ABa, BCb ，那么向量AC 叫做 a 与 b 的和，即 abABBCAC ； 第 2 页，共 11 页 - - -
10、- - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -向量的减法：用“三角形法就”：设ABa, ACb,那么 abABACCA ，由减向量的终点指向被减向量的终点；注 意 ： 此 处 减 向 量 与 被 减 向 量 的 起 点 相 同 ； 如 （ 1 ） 化 简 ： ABBCCD ； ABADDC ； ABCD ACBD （答： AD ； CB ； 0 ）；（ 2）如正方形 ABCD 的边长为 1， ABa, BCb, ACc ，就 | abc | （答： 22 ）；（3）如 O 是ABC 所在平面内一点，且满意OBOCOBOC2OA
11、，就ABC 的外形为 （答：直角三角形） ；（ 4）如 D 为ABC 的边 BC 的中点，ABC 所在平面内有一点P ，满意PABPCP0 ，设| AP | PD |，就的值为 （答： 2）；（ 5）如点 O 是 ABC 的外心， 且 OAOBCO0 ，就 ABC 的内角 C 为 （答： 120 ）；（2） 坐标运算 ：设 a x1 , y1 , bx2 , y2 ，就：向量的加减法运算： ab x1x2 ， y1y2 ；如（ 1）已知点A2,3, B5,4， C 7,10 ，如APABAC R ，就当 时，点 P 在第一、三象限的角平分线上（答：1 ）；（ 2）已知2A2,3, B1,4,
12、且 1 AB2sin x,cos y ， x, y, ，22就 xy（答：或）；（ 3）已知作用在点62的终点坐标是（答：（9,1）A1,1的三个力 F13,4, F22,5,F33,1 ，就合力FF1F2F3实数与向量的积：ax1 , y1x1 ,y1；如 Ax1, y1 , B x2 , y2 ，就ABx 2x1 ,y2y 1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标； 如设 A2,3, B1,5 ，且1ACAB ， AD 33 AB ，就 C、D 的坐标分别是 （答：111,7,9 ）；3平面对量数量积：abx1x2y1 y2 ；如已知向量 a （ sinx， cosx） , b （ sinx， sinx） ,c （ 1， 0）；（1）如 x ，3求向量 a 、 c 的夹角；（2）如 x 3, ，函数84f xa b 的最大值为1，求的值（答：21150 ;2
