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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载平面解析几何初步经典例题导讲 7.1 直线和圆的方程例 1 直线 l 经过 P（2,3 ） , 且在 x,y轴上的截距相等, 试求该直线方程.303解：在原解的基础上, 再补充这样的过程: 当直线过 0,0时 , 此时斜率为 : k,202直线方程为y= 3 x2综上可得 : 所求直线方程为x+y-5=0 或 y= 3 x .2例 2 已知动点P 到 y 轴的距离的3 倍等于它到点A1,3 的距离的平方, 求动点 P 的轨迹方程 .522211223解：接前面的过程 , 方程化为x- 2
2、+y-3=4 , 方程化为 x+ 2 +y-3= -4 ,5由于两个平方数之和不行能为负数, 故所求动点P 的轨迹方程为: x- 2 02+y-3221=4 x 2222例 3 m是什么数时，关于x,y的方程（ 2m+m-1）x +（ m-m+2）y +m+2=0的图象表示一个圆？解： 欲使方程 Ax2+Cy2+F=0 表示一个圆，只要A=C 0，222得 2m+m-1=m-m+2，即 m+2m-3=0，解得 m1=1，m2=-3 ，22(1) 当 m=1时，方程为2x +2y =-3 不合题意，舍去.22221(2) 当 m=-3 时，方程为14x+14y =1, 即 x +y =14 ,
3、原方程的图形表示圆.例 4 自点 A-3 ， 3 发出的光线L 射到 x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆22x +y-4x-4y+7 0 相切，求光线L 所在的直线方程.解：设反射光线为L , 由于 L 和 L关于 x 轴对称， L 过点 A-3 ，3 ，点 A 关于 x 轴的对称点 A -3 ， -3 ，于是 L过 A-3 ，-3.设 L的斜率为k，就 L的方程为y-3k x-3，即 kx-y+3k-3 0，已知圆方程即x-22+y-22 1，圆心 O的坐标为 2 ， 2 ，半径 r 1因 L和已知圆相切，就O到 L的距离等于半径r 12k23k3即k 2125k51k 21整理
4、得 12k -25k+12 0解得 k4 或 k 334L的方程为y+34 x+3;或 y+3 33 x+3 ；4即 4x-3y+3 0 或 3x-4y-3 0因 L 和 L关于 x 轴对称故 L 的方程为4x+3y+3 0 或 3x+4y-3 0.例 5求过直线x2 y40 和圆 x 2y22 x4 y10 的交点， 且满意以下条件之一的圆的方程： 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（ 1） 过原点；（ 2）有最小面积 .解： 设所求圆的方程是：x 2y 22 x
5、4 y1x2 y40即： x2y 2（1）由于圆过原点，所以14故所求圆的方程为：x2y 22x2 20 ，即147 x7 y0 .42y140（ 2）将圆系方程化为标准式，有：252445522x2y22当其半径最小时，圆的面积最小，此时22为所求 .52故满意条件的圆的方程是x4y84 .555例 6（ 06 年辽宁理科） 已知点 Ax1 , y1 ，Bx2 , y2 （x1 x2 0）是抛物线y 22 px p0上的两个动点，O是坐标原点，向量OA,OB 满意 OAOB OAOB . 设圆 C 的方程为 x 2y x1x2 x y1y2 y02（1）证明线段AB 是圆 C 的直径；（2）
6、当圆 C 的圆心到直线x2 y0 的距离的最小值为25 时，求p 的值 .25解：（ 1）证明 OAOB OAOB ，（ OAOB ）2（ OAOB ） ，整理得：OAOB 0x1 x2 y1 y2 0设 M（x, y ）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，就MAMB 0即xx1 xx2 yy1 yy2 0整理得： x 2y x1x2 x y1y2 y02故线段 AB是圆 C 的直径 .（2）设圆 C 的圆心为 C（ x, y ），就x x1x2 2y y1y22 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - -
7、- - - - -学习必备欢迎下载2 y12 px1 ， y22 px2 p02122 x1 x2y 2 y 24 p又 x1 x2 y1 y2 0，x1 x2 y1 y212 y yy 2 y 2124 p2 x1 x2 0， y1 y2 0 y1 y2 4 p 2xx1x2 21 y 214 p2y21 y 214 p2y22 y1 y2 1y y 4 p12y2p122p所以圆心的轨迹方程为y 2px2 p 2设圆心 C 到直线 x2 y0 的距离为，就| x2 y |p| yp2p 2 |555p| 1 y 22 p2 2 y |当 y p 时，有最小值 p 2.p ，由题设得5p 2
8、555经典例题导讲 例 1 设双曲线的渐近线为：y圆锥曲线3 x ，求其离心率 .2解： 由双曲线的渐近线为y3 x 是不能确定焦点的位置在x 轴上的，当焦点的位置在y2b轴上时，a2，故此题应有两解，即：32ec1baa21313.或23 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 2 设点 Px,y在椭圆4 x2y24 上，求 xy 的最大、最小值.剖析： 此题中x、y 除了分别满意以上条件外，仍受制约条件4 x 2y24 的约束 . 当 x=1时,y此时取不到最大值
9、2, 故 x+y 的最大值不为3. 其实此题只需令xcos, y2 sin，就 xycos2sin5 sin ，故其最大值为5 ，最小值为5 .例 3 已知双曲线的右准线为x4 ，右焦点F 10,0 , 离心率 e2 , 求双曲线方程 .解法一：设 P x, y为双曲线上任意一点，由于双曲线的右准线为x4 ，右焦点F 10,0 ，离心率 e2 ，由双曲线的定义知 x10 2y 22.整理得x22y21.| x4 |1648解法二：依题意，设双曲线的中心为a 2 m,0 ,m4c就cm10解得c2.aa4c8m2., 所以b 2c 2a 2641648,故所求双曲线方程为2 x22y1.1648
10、例 4 设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率e3，已知点2P 0,3 到这个2椭圆上的最远距离是7 ，求这个椭圆的方程.解： 如 b1，就当 y2b 时，d 2 （从而 d ）有最大值 .2于是 7 b3 2 , 从而解得 b211731 ,与b2221 冲突 .2所以必有b，此时当2y时，2d（从而 d ）有最大值，所以 4b 237 2 ，解得 b 21, a 24.2于是所求椭圆的方程为x4y 21.x 2例 5 从椭圆a 2y1 , a b0 上一点 M向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，2b 2 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载A、B 分别是椭圆长、短轴的端点，AB OM设 Q是椭圆上任意一点，当QF2 AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，如
