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1、湖北省咸宁市沙店中学2020年高三数学理测试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=()ABCD参考答案:B【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差【分析】设P(X=1)=p,P(X=2)=q,则由P(X=0)=,E(X)=1,列出方程组,求出p=,q=,由此能求出D(X)【解答】解:设P(X=1)=p,P(X=2)=q,E(X)=0+p+2q=1,又+p+q=1,由得,p=,q=,D(X)=(01)2+=,故选:B2. 已知向量 ,且a+b与
2、阿a共线,那么 的值为 A .l B. 2 C. 3 D.4参考答案:3. i是虚数单位,复数表示的点落在哪个象限( )A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案:C4. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A. 3B. 4C. 2+4D.3+4参考答案:D该几何体为半圆柱,底面为半径为1的半圆,高为2,因此表面积为 ,选D.5. 已知抛物线E:(),过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B两点(点A在第一象限),若,则p的值是A2 B3 C4 D5参考答案:A,即,不妨设,则,即有,又因为,故:6. 已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f(x),当x0时,
3、f(x)+0,若a=f(),b=2f(2),c=(ln)f(ln),则a,b,c的大小关系正确的是()A acbBbcaCabcDcab参考答案:A7. 空间有四个点,如果其中任意三个点都不在同一直线上,那么过其中三个点的平面( )A可能有三个,也可能有两个;B.可能有四个,也可能有一个;C.可能有三个,也可能有一个;D可能有四个,也可能有三个;参考答案:B略8. 已知斜率为3的直线l与双曲线C: =1(a0,b0)交于A,B两点,若点P(6,2)是AB的中点,则双曲线C的离心率等于()ABC2D参考答案:A【考点】双曲线的简单性质【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据AB的中点P
4、的坐标,表示出斜率,从而得到关于a、b的关系式,再求离心率【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则代入双曲线方程,相减可得,点P(6,2)是AB的中点,x1+x2=12,y1+y2=4,直线l的斜率为3,=3,a2=b2,c2=2a2,e=故选A9. 设命题p:“若对任意,x1x2a,则a3”;命题q:“设M为平面内任意一点,则A、B、C三点共线的充要条件是存在角,使”,则A、为真命题B、为假命题 C、为假命题D、为真命题参考答案:C10. 函数,若,则(A); (B); (C); (D)参考答案:B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线,且双曲线的
5、一条渐近线截圆所得弦长为,则双曲线的离心率为 .参考答案:略12. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x(-1,4时,f(x)=x2-2x,则函数f(x)在0,2013上的零点个数是_参考答案:【知识点】根的存在性及根的个数判断;函数的零点B9 【答案解析】604 解析:y=x2 与 y=2x 的函数曲线在区间(0,4有两个交点,在区间(1,0区间有一个交点,但当x(1,4时,f(x)=x22x=16无根即当x(1,4时,f(x)=x22x有3个零点,由f(x)+f(x+5)=16,即当x(6,1时,f(x)=x22x无零点又f(x+5)+f(x+10)=f(x)+f
6、(x+5)=16,f(x+10)=f(x),即f(x)是周期为10的周期函数,在x0,2013,分为三段x0,4,x(4,2004,x(2004,2013在x0,4函数有两个零点,在x(4,2004有200个完整周期,即有600个零点,在x(2004,2013共有两个零点,综上函数f(x)在0,2013上的零点个数是604故答案为:604【思路点拨】根据y=x2 与 y=2x 的函数曲线在区间(0,4有两个交点,在区间(1,0区间有一个交点,f(x)=x22x=16无根,可得x(1,4时,f(x)=x22x有3个零点,且x(6,1时,f(x)=x22x无零点,进而分析出函数的周期性,分段讨论后
7、,综合讨论结果可得答案【题文】13. 已知函数的部分图象如图所示,则点的坐标为_;参考答案:14. 给出下列等式:观察各式:ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则依次类推可得a6b6_.参考答案:1815. 在极坐标系中,经过点作圆的切线,则切线的极坐标方程为_.参考答案:略16. 设A为曲线M上任意一点,B为曲线N上任意一点,若的最小值存在且为,则称为曲线M,N之间的距离.(1)若曲线M: 为自然对数的底数),曲线N:,则曲线M,N之间的距离为 ;(2)若曲线M:,曲线N:,则曲线M,N之间的距离为 参考答案:,【知识点】单元综合B14:(1)设与直线N:y=x平行且与
8、曲线M:y=ex相切的直线方程为y=x+t,切点P(x0,y0)y=ex,ex0=1,x0=0y0=1切点P(0,1),1=0+t,解得t=1切线方程为y=x+1曲线M,N之间的距离=(2)由曲线M:y2+1=x,曲线N:x2+1+y=0,可知两曲线关于直线:y=-x对称设与直线:y=-x平行,且与曲线N:x2+1+y=0相切于点p(x,y),由曲线N:x2+1+y=0,y=-2x,令-2x=-1,解得x=,y=-切点P(,-)到直线y=-x的距离=曲线M,N之间的距离为【思路点拨】(1)设与直线N:y=x平行且与曲线M:y=ex相切的直线方程为y=x+t,切点P(x0,y0)利用导数的几何意
9、义可得切点P(0,1),代入y=x+t,解得t=1可得切线方程为y=x+1即可得出曲线M,N之间的距离(2)由曲线M:y2+1=x,曲线N:x2+1+y=0,可知两曲线关于直线:y=-x对称设与直线:y=-x平行,且与曲线N:x2+1+y=0相切于点p(x,y),利用导数的几何意义可得切点,利用平行线之间的距离公式即可得出17. 已知a=cosxdx,则x(x)7的展开式中的常数项是 (用数字作答)参考答案:128【考点】二项式系数的性质【分析】利用微积分基本定理可得a,再利用二项式定理的通项公式即可得出【解答】解:a=cosxdx=,则x的展开式中的通项公式:Tr+1=x=(2)rx7r,令
10、7r=0,解得r=7常数项=128故答案为:128三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18. (本小题满分12分)已知函数.()若曲线在点(2,f(2))处的切线的斜率小于0,求的单调区间;()对任意的,恒有,求正数的取值范围。参考答案:见解析【知识点】导数的综合运用解:(),若曲线在点(2,f(2))处的切线的斜率小于0,则,即有,2a+121,则由f(x)0得0x2a+1;由得1x2a+1。f(x)的单调递增区间为(0,1),(2a+1,),单调递减区间为(1,2a+1)。(),(2a+1)4,6,由()知f(x)在1,2上为减函数。不妨设1x1f
11、(x2),原不等式即为:f(x1)-f(x2),即,对任意的,x1,x21,2恒成立。令g(x)=f(x)-,对任意的,x1,x21,2有g(x1)g(x2)恒成立,g(x)=f(x)-在闭区间1,2上为增函数,对任意的,x1,2恒成立。而,化简得,即,其中。1,2,只需,即对任意x1,2恒成立,令恒成立,在闭区间1,2上为减函数,则。由,解得。19. (理)已知(1)若,求实数m的取值范围;(2)是否存在实数m,使得“”是“”的充要条件,若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案:由得,所以-1分由得,所以 -2分(1) 要使,则若,此时; -4分若,此时,解之得-6分由以上可
12、知 -7分(2) 由题意, “”是“”的充要条件,则满足S=P 则,所以,所以这样的m不存在 。-12分20. 某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A商品若干件(A商品在商场的保鲜时间为10小时,该商场的营业时间也恰好为10小时),并开始以每件300元的价格出售,若前6小时内所购进的商品没有售完,则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验,4小时内完全能够把A商品低价处理完毕,且处理完后,当天不再购进A商品)该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量,制成如下表格(注:视频率为概率)(其中x+y=70)前6小时内的销售量t(单位:件)456频数30x
13、y()若该商场共购入6件该商品,在前6个小时中售出4件若这些产品被6名不同的顾客购买,现从这6名顾客中随机选2人进行回访,则恰好一个是以300元价格购买的顾客,另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少?()若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大,求x的取值范围参考答案:(1)恰好一个是以300元价格购买的顾客,另一个以100元价格购买的顾客的概率是A,则P(A)=;4分(2)设销售A商品获得利润为X,(单位,元),以题意,视频率为概率,为追求更多的利润,则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件,5件,6件,当购进A商品4件时,EX=1504=600,当购进A商品5件时,EX=(150450)0.3+15050.7=690,当购进A商品6件时,EX=(1504250)0.3+(150550)+1506=7802x,由题意7802x690,解得x45,又知x10030=70,