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1、学习好资料欢迎下载二次函数学问点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如yax 2bxc （ a ，b，c 是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0 ，而 b ，c 可以为零二次函数的定义域是全2体实数2. 二次函数yaxbxc 的结构特点： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2 a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：yax2 的性质：a 的肯定值越大，抛物线的开口越小；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ，0x0 时
2、， y 随 x 的增大而增大； xy 轴0 时， y 随 x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 0 a0向下0 ，0x0 时， y 随 x 的增大而减小； xy 轴0 时， y 随 x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 0 22. yaxc 的性质：上加下减；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质学习好资料欢迎下载a0向上0 ，cx0 时， y 随 x 的增大而增大； xy 轴0 时， y 随 x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 c a0向下0 ，cx0 时， y 随 x 的增大而减小； xy 轴0 时， y 随 x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 c 3. ya x
3、h2的性质：左加右减；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ，0X=hxh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 随 x的增大而减小；xh 时， y 有最小值 0 a0向下h ，0X=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随 x的增大而增大；xh 时， y 有最大值 0 24. ya xhk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ，kX=hxh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 随 x的增大而减小；xh 时， y 有最小值 k a0向下h ，kX=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随 x的增大而增大；x
4、h 时， y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：2方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标h，k； 保持抛物线yax的外形不变，将其顶点平移到h ，k处，详细平移方法如下：学习好资料欢迎下载y=ax 2向上 k0【或向下 k 0【或左 h0 【或左 h0 【或下 k0 【或下 k0【或左 h0】平移 |k| 个单位y=ax-h2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： yax 2bxc沿 y 轴平移 : 向上（下）平移m 个单位， yax 2bxc 变成yax 2b
5、xcm （或 yax 2bxcm ） yax 2bxc沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2bxc 变成2ya xmb xmc （或 ya xm 2b xmc ）四、二次函数2ya xhk 与 yaxbxc 的比较从解析式上看，22yaxhk 与 yax2bxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2yaxb 2a4acb 24a，其中 hb ，k 2a4acb24a五、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2ya xhk ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：
6、顶点、与y 轴的交点0 ，c、以及0 ，c关于对称轴对称的点2h ，c、与 x 轴的交点x1 ，0， x2 ，0 （如与 x 轴没有交点，就取两组关于对称轴对称的点）.2画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .六、二次函数yaxbxc 的性质1. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb，顶点坐标为2ab ，4acb22a4a学习好资料欢迎下载当 xb 时， y 随 x 的增大而减小；当x 2a2b 时， y 随 x 的增大而增大；当x 2ab时， y2a有最小值4acb4a2. 当 a0 时，抛物线开口向下， 对称轴为 xb，顶点坐标为2ab4ac
7、b2，2 a4a当 xb 时 ，2ay 随 x 的增大而增大；当xb 时， y 随 x 的增大而减小；当x 2ab 时， y 有最大值2a24acb4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：yax 2bxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2. 顶点式：2ya xhk （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；3. 两根式：ya xx1 xx2 （ a0 ， x1 ， x2 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.2留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即式的这三种形式可以互化.b4ac0 时，抛物线的解
8、析式才可以用交点式表示二次函数解析八、二次函数的图象与各项系数之间的关系21. 二次项系数 a二次函数yaxbxc 中， a 作为二次项系数，明显a0 当 a0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当 a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来， a 打算了抛物线开口的大小和方向，a 的正负打算开口方向，a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数a 确定的前提下，b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴
9、就是y 轴；2a当 b0 时，b0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a学习好资料欢迎下载当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来，在a 确定的前提下，b 打算了抛物线对称轴的位置bab 的符号的判定：对称轴x在 y 轴左边就 ab2a0，在 y 轴的右侧就 ab0 ，概括的说就是“左同右异 ”总结：3. 常数项 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与
10、y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来， c 打算了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，挑选适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称学习好资料欢迎下载2yaxbxc 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yaxbxc ；22yaxhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；2. 关于 y 轴对称yax2bxc 关于 y 轴对称后，得到的解析式是yax2bxc ；2yaxhk 关于 y 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；
