《初升高数学衔接班第4讲一元二次方程的根与系数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初升高数学衔接班第4讲一元二次方程的根与系数（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、学习目标：1、把握一元二次方程的根的判别式，并能运用根的判别式判定方程解的个数；2、把握一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理，并能运用韦达定理处理一些简洁问题；二、学习重点：一元二次方程的根与系数的关系三、课程精讲：1、旧知回忆： 一元二次方程ax2bxc0 a0 的两个根为：bb2x12a4acbb2, x22a4ac2、新知探秘：对于一元二次方程ax2bxc0 a0 ，有没有实数根的关键因素是什么？学问点一：一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2bxc0 a0 ，用配方法将其变形为：bb 2 x 22a4 ac4 a 2（ 1）当b24ac0 时，右端是正数因此，方程有两个不相
2、等的实数根：x1,22bb22a4acbx1,2（ 2）当 b4ac0 时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：2a（ 3）当b24ac0时，右端是负数因此，方程没有实数根由于可以用b 24ac 的取值情形来判定一元二次方程的根的情形因此，把 b24 ac 叫做一元二次方程ax2bxc0 a0 的根的判别式，表示为：b 24ac22【例 1】不解方程，判定以下方程的实数根的个数：（ 1） 2x23 x10（ 2） 4 y912y（ 3） 5x36x0思路导航： 可以用根的判别式来判定一元二次方程解的个数解：（ 1）3242110 ，原方程有两个不相等的实数根（ 2）原方程可化为：4 y 21
3、2 y901224490 ， 原方程有两个相等的实数根（ 3）原方程可化为：5x26 x1506245152640 ， 原方程没有实数根点津： 在使用判别式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式【例2】已知关于x 的一元二次方程值范畴：3 x22 xk0 ，依据以下条件，分别求出k 的取（ 1）方程有两个不相等的实数根；（ 2）方程有两个相等的实数根思路导航： 已知一元二次方程解的个数就可知判别式的值与零的大小关系，从而求出 k的取值范畴；解：2243k412k（ 1）412k0k13 ；（ 2）412k0k13 ；仿练：（ 3）方程有实数根；（ 4）方程无实数根解：（ 3）412k0k
4、13 ；（ 4）412k0k13 点津： 求待定字母的取值范畴，有时应考虑“一元二次方程”这个隐含条件，即方程中的二次项不能为0；如此题的一元二次方程改为：什么呢？学问点二：一元二次方程的根与系数的关系kx 22 x3 0 ，k 的取值范畴将分别是一元二次方程ax2bxc0 a0 的两个根为：bb2x12a4acbb2, x22a4acx1x2bb24acbb24acb所以：2a2aa ，bb24acbb24acb2b24ac 24accx1x2222a2a2a4aa定理：假如一元二次方程2axbxc0 a0 的两个根为x , x ，那么：12xxb , x xc121 2aa说明： 一元二次
5、方程的根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发觉，所以通常把此定理称为 “韦达定理” ；上述定理成立的前提是0 ；【例 3】如x1, x2 是方程x22 x1120070 的两个根，试求以下各式的值：x 2x 2xxx5x5| xx|（ 1）12 ； （ 2）12；（ 3）12；（ 4）12思路导航： 本例如直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会显现复杂的运算本例可利用韦达定理来解答解： 由题意，依据根与系数的关系得：x1x22, x1 x22007x 2x 2 xx 22x x22220074018（ 1）12121211x1x222（ 2） x1x2x1 x220072007（
6、3） x15 x25x1 x25x1x2 2520075 2251972| xx|xx 24x x2 24200722021（ 4）12121 2点津： 利用根与系数的关系求值，要娴熟把握以下等式变形：x 2x 2xx 22x x11x1x2xxx xxx 2 xx 24 x x12121 2 ，121 2，121212 ，| xx| xx 24 x xx x 2x 2 xx x xx 12121 2 ，12121212，x 3x 3 xx 33x x xx 12121212等等韦达定理表达了整体思想x2【例 4】已知关于x 的方程k1 x12k104，依据以下条件， 分别求出 k 的值（ 1
7、）方程两实根的积为5；（ 2）方程的两实根x1 , x2 满意 | x1 |x2 思路导航：（ 1）由方程两实根的积为5，用韦达定理即可求解；（2）有两种可能，一是x1x20 ，二是x1x2 ，所以要分类争论解：（ 1）方程两实根的积为5 k124 1 k 2410k3 , k4x1 x21 k 215432k, 且k4 2所以，当（ 2）由k| x1 |4 时，方程两实根的积为5x2 得知：0k3当 x10 时， x1x2 ，所以方程有两相等实数根，故2 ；当 x10 时，x1x2x1x20k10k1 ，由于0k32 ，故 kk31 不合题意，舍去综上可得，2 时，方程的两实根x1 , x2
8、 满意| x1 |x2 点津： 依据一元二次方程两实根满意的条件，求待定字母的值，务必要留意方程有两实根的条件，即所求的字母应满意0 【直击高中】一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系在高中数学中应用特别广泛，它在二次函数、不等式、解析几何等方面都有特别广泛的应用，下面让我们一起来感受一下它的作用；【例 5】已知实数x、 y 满意 x2y 2xy2xy10 ，试求 x 、 y 的值思路导航： 已知条件中由于只给出了关于x， y 的一个关系式，所以并不能用一般的解方程组的方法求x， y，应考虑关系式的特别性；解： 可以把所给方程看作关于x 的方程，整理得：x2 y2 xy2y10由于 x 是实
9、数，所以上述方程有实数根，因此： y2 24 y2y13y 20y0 ，代入原方程得：x22 x10x1综上知： x1, y0点津： 转化的思想是高中数学的一个基本思想，可以把复杂问题简洁化，也可以把不常见的问题转化成常见的问题，解题时要留意转化思想的运用；【例 6】（ 1）判定直线y2 x1 与抛物线yx23x1的交点的个数；（ 2）如直线y2 xb 与抛物线yx2 有两个不同的交点，求b 的取值范畴y2 x1思路导航： 求直线与抛物线交点的个数，第（ 1）小题可以转化为方程组yx23x1y2xb的解的个数；第（ 2）小题可以转化成方程组围；yx2有两个不同的解时，求b 的取值范y2x1解
10、：（ 1 ） 依 题 意 ， 联 立 方 程 组yx23x1 ， 消 元 得 ，x25 x0 ， 此 时5241025，0故方程组有两个不同的解，即有两个不同的交点；y2xb（ 2）由2yx22得x2 xb，即2x2 xb0 依题意知，2 41b， b0 1点津： 判定两曲线交点个数的常用方法有直接求解法、判别式法及图像法；其中判别式法是把图像交点个数的判定转化为判定方程组的解的个数，表达出解析几何的思想用代 数的方法争论几何问题；【例 7】已知x1 , x2 是一元二次方程4kx24kxk1 0 的两个实数根2 xx x2 x 3（ 1）是否存在实数k ，使不存在，请您说明理由12122 成立？如存在，求出k 的值；如x1（ 2）求使 x2x22x1的值为整数的实数k 的整数值思路导航： 对于存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，如能求出，就说明存在，否就即不存在2 xx x2 x 3解：（ 1）假设存在实数k ，使12122 成立 一元二次方程24kx4kxk10 有两个实数根4k02k04k44kk116k0，又 x1 , x2 是一元二次方程4 kx24kxk10 的两个实数根x1x21k1x1 x22 xx4k x2x 2x 2x 2 5x x
