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1、初三数学复习：函数及其图象学问点整理设计 : 泰兴市黄桥中学马京城日期： 2021-3-6一、平面直角坐标系1、在平面内，有 的两条数轴，组成平面直角坐标系留意1 坐标平面内的点与 一一对应2） 坐标轴上的点不属于任何象限；2、不同位置点的坐标的特点：1） 坐标轴上点的特点：x 轴上点的纵坐标为0，一般记为P（ ， ）； x 轴可写成直线y=0 ， y 轴上点的横坐标为0，一般记为Q（ ， ）；y 轴可写成x=0 ，2）各象限内点的坐标的特点：第一象限：（ ， ）；其次象限：（ ， ）；第三象限：（ ， ）；第四象限：（ ， ）；3 、点 P（ x， y）坐标的几何意义： 1）点 P（ x ，
2、y ）到 x 轴的距离是 ；2）点 P（ x， y ）到 y 轴的距离是 ； 3）点 P（ x ， y）到原点的距离是 ;4、关于坐标轴、原点对称 的两点坐标的特点1）点 P（ a，b）关于 x 轴的对称点P1（ ， ）；2）点 P（ a，b）关于 y 轴的对称点P2（ ， ）；3）点 P（ a，b）关于原点的对称点P3（ ， ）；5、同一数轴上两点间距离 ，（ 1） x 轴上两点A（ x1， 0）， B（x2， 0）就 AB=|x 1-x 2| ；（ 2）y 轴上两点C（ 0， y1）， D（ 0， y2），就 CD=|y1-y 2| ；6、过 P（ a， b）平行于x 轴的直线可写成y=b
3、 ，平行于y 轴的直线可写成x=a，第一、三 象限的两轴角平分线y=x ； 其次、四象限的夹角平分线y=-x ；二、函数的概念1、常量在某问题的讨论过程中，保持不变的量叫做常量；变量在某问题的讨论过程中，可以取不同数值的量叫做变量；2、函数一般地， 设在某一变化过程中有两个变量x 与 y，假如对于x 的每一个值y 都有唯独的值和它相对应，那么说y 是 x 的函数， x 为自变量， y 是因变量；函数值假如变量y 是自变量x 的函数，即y=f （ x），那么当 x 在定义域内取每一个确定的值，如 x=a 时，变量 y 都有惟一确定的值与它对应，这个对应值叫做自变量取确定值 a 时的函数值，通常用
4、记号f （ a）来表示函数的图像对于一个函数， 假如把自变量x 与函数 y 的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标， 在直角坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图像；3、函数常用表示方法：解析式，列表法，图像法4、函数图像的画法由函数解析式画函数的图像，一般按以下步骤进行；（ 1） 列表 ：列表给出自变量与函数的一些对应值；（ 2） 描点 ：用表中的对应值作为坐标，在直角坐标平面内描出相应的点；（ 3） 连线 ：用光滑的曲线，依据自变量由小到大的次序，把所描的点连接起来；在描点时，描出的点越多，图像越精确，实际上，一般不行能把全部的点都描出来，只能用光滑的曲线连接描出的一
5、些点，从面得到函数的近似图像；留意 ：画图象应在自变量取值范畴内画5、自变量取值范畴： （ 1）整式时自变量取全体实数；（ 2）分式时分母不为零；（ 3）二次0-p2根式中被开方数是非负数；（4） a ， a中 a0；（ 5）使实际问题有意义.求自变量取值范畴时考虑应周密：例如y=x +x x12 0 x中 x 0 且 x 2几个常见的函数（一）正比例函数1、函数 （ k 0 的常数）叫做正比例函数2、正比例函数的图像：正比例函数y=kx （ k 0 的常数）的图像是经过坐标原点和（ 1， ）的一条直线，也叫做直线y=kx依据两点确定一条直线的规律，在画正比例函数的图像时，除了取原点以处，只需
6、另外再取一个点就可以了，一般取符合解析式的整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）1描起来较便利；如画函数y连线即可；x的图像时，分别取点（0， 0）和（ 2， -1），然后描点、23、正比例函数的性质正比例函数y=kx （k 0 的常数）有如下的性质：当 k 0 时，它的图像在第 象限内， y 随 x 的增大而 ；当 k 0 时，它的图像在第 象限内， y 随 x 的增大而 ；4、函数的性质应结合它的图像来懂得（二）一次函数1、函数 y= （ 常数， 0）叫做 一次函数当 b=0 时，一次函数y=kx+b 就成为 y=kx （ k 是常数k0），这时 y 是 x 的正比例函数，所以正比例函数是一
7、次函数的特殊情形；2、一次函数的图像一次函数的图像是经过点（0， ）且平行于直线y=kx的一条直线，一次函数y=kx+b 的图像也叫做直线y=kx+b ；直线 y=kx+b 与 y 轴相交于点（0， b）两条直线L 1:y=k 1x+b 1， L 2:y=k 2x+b 2，假如 k1=k 2， b1b2，那么 L 1 L2，反之也成立；由两点确定一条直线可知，在画一次函数的图像时，只要先描出直线上的两点，再过这两点画一条直线就可以了，当 b0时，一般取与坐标轴相交的两点（ ，0）、（ 0， ）较好；3、直线位置与常数的关系 k 打算直线的方向k 0 直线的方向向上；k0 直线的方向向下 b 打
8、算直线与y 轴交点的位置：b 0 直线与 y 轴交点在x 轴的 ；b=0 直线过 点； b 0 直线与 y 轴交点在x 轴的 ；依据以下一次函数y=kx+bk 0 的草图回答出各图中k 、b 的符号：4、一次函数的性质：与正比例函数的性质一样，当 k 0，y 随 x 的增大而 ；当 k 0，y 随 x 的增大而 ；5、一次函数与一元一次方程的关系一次函数 y=kx+b （ k0），当 y=0 时，即对应一元一次方程 y=kx+b （ k0），也就是说一次函数 y=kx+b （ k0）的图像与 x 轴的交点的横坐标 x 的值就是方程 y=kx+b （k0）的根；6、求一次函数表达式：待定系数法由
9、已知条件， 先设一个式子中的未知系数， 然后依据已知数据求出未知系数， 从而法语出这个式子的方法叫待定系数法；说明：求正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等一般都采纳待定系数法；7、一次函数图像与坐标轴交点：直线 y=kx+b （k 0）与 x 轴交点（ ， 0），与 y 轴交点（ 0， ），与两坐标轴围成的三角形的面积 （三）反比例函数k1、函数 y=（ k 0 的常数）叫做 反比例函数 ，也可以说y 与 x 成反比例，x函数中的x 0；与正比例函数一样，确定了 k 值， 就可以确定一个反比例函数；反比例函数y= kx仍可表示成y=kx-1 的形式；2、反比例函数的性质当k 0 时，它
10、的图像的两个分支分别在第 限内， 在每个象限内 ， y 随 x 的增大而 ；当 k 0 时， 它的图像的两个分支分别在第而 ； 象限内， 在每个象限内，y 随 x 的增大图像的两个分支都无限接近于x 轴和 y 轴，但不会与x 轴和 y 轴相交；留意 ：用性质时，要留意“在每个象限内”这个条件；3、k 打算双曲线的位置 k 0图像的两个分支分别在第 象限内； k 0图像的两个分支分别在第 象限内；k4、k 的几何意义过双曲线y=（ k 0） 上任意一点P 引xx 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为B、A ，就矩形 PBOA 的面积为 , POB 的面积为 （四）二次函数1、 函数 y=ax 2+bx
11、+c （其中 a、b、c 是常数， a 0）叫做 二次函数2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线，它是一个轴对称图形，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点；3、二次函数常用的两种表达形式二次函数的解折式有两种常用的表达形式：一般式、顶点式；+bx+c=0两根式中x 1、x 2 是抛物线与x 轴相交的两个交点的横坐标，即方程ax2实根；二次函数解析式的两种常用表达形式各有其优点，可以依据不同需要相互转化，如一般式通过配方可化为顶点式；的两个4、二次函数的性质 a 0 时，抛物线的开口向 ，顶点是它的最 点； a 0时，抛物线的开口向 ，顶点是它的最 点；a 打算抛物线的开口 和开口
12、；a 越大，开口越 ；抛物线的对称轴是直线x= ，顶点坐标是（ ， ） 假如抛物线用顶点式 y= a（ x h） 2是（ ， ）+k 表示时，那么对称轴是直线x=，顶点坐标当b=c=0 时，二次函数为最简洁的二次函数y=ax2 ；当 b、c 不全为0 时，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与y=ax2 的图像的外形相同，位置不同，可以通过适当的平移，使两个图形重合，如把二次函数y=x 12 4 的图像，向左平移一个单位，向上平移四个单位，即与y=3x 2 的图像重合； 画二次函数的图像时，应先求出它的对称轴和顶点坐标，然后利用它的对称性列表取点，如取与 y 轴的交点及基本对称点，假如图像与
13、x 轴有两个交点，取这两个交点等，最终描点连接，就可画出二次函数的图像；5、抛物线中间由a、b、c 打算： a 打算抛物线的开口方向a 0开口向 a 0开口向 c 打算抛物线与y 轴交点的位置：c 0图像与 y 轴交点在x 轴 的 方 ；c=0图 像 过 点；c 0图像与 x 轴交点在x 轴 的 方 ； a、 b 打算抛物线对称轴的位置：（对称轴： x=b ）2aa、b 同号对称轴在 y 轴 侧；b=0对称轴是y 轴；a、b 异号对称轴在y 轴 侧； =b2 4ac 打算抛物线与x 轴交点情形： 0抛物线与x 轴有两个不同交点； =0抛物线与x 轴有惟一公共点（相切）； 0抛物线与x 轴有无公共点；6、二次函数的最值二次函数y=ax2+bx+c （其中 a、b、c 是常数， a 0）中，假如 a 0，那么当x=b时，函数y 有最小值2a4acb2 4 a，记作 y 最小值4acb2；4a假如 a 0，那么当x=b时，函数y 有最大值2a4 acb 24 a，记作 y 最大值4acb 2；4a所谓最值就是最大值或最小值，二次函数取最大值或最小值是与打算图像开口方向的a有关；二次函数的最值反映到图
