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1、2021 年中考数学专题复习第十四讲二次函数的同象和性质【基础学问回忆】一、二次函数的定义：一、一般地假如y=（a、b、c 是常数 a0）那么 y 叫做 x 的二次函数【赵老师提示：二次函数 y=kx 2+bx+ca 0的 结构特点是： 1、等号左边是函数，右边是关 于 自 变 量 x 的 二 次 式 ， x 的 最 高 次 数 是，按一次排列2、强调二次项系数a0】二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx2 +bx+ca轴式的0同象是一条，其定点坐标为对称2、在 抛物 y=kx2b+bx+ca 0中 ： 1、当 a0 时， y 口向，当 x-时， y2a随 x 的增大而，当 x时，y
2、随 x 的增大而增大， 2、当 a0 时，开口b向当 x-时， y 随 x 增大而增大，当 x时， y 随 x 增大而减小2a【赵老师提示：留意几个特别形式的抛物线的特点1、y=ax2 ,对称轴定点坐标2、y= ax2 +k，对称轴定点坐标3、y=ax-h 2 对称轴定点坐标4、y=ax-h 2 +k 对称轴定点坐标】三、二次函数同象的平移【赵老师提示：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，当然要把握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】四、二次函数 y= ax2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向向上就 a0,向下就 a0a越大，开口越b:对称轴位置，与 a 联系一起，
3、用判定 b=0 时，对称轴是c:与 y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，就c0 负半轴上就 c0，当 c=0时，抛物点过点【赵老师提示：在抛物线y= ax2+bx+c 中，当 x=1 时， y=当 x=-1 时y=,常常依据对应的函数值判考a+b+c 和 a-b+c 的符号 】【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例 1 （ 2021.常州）已知二次函数y=a（ x-2 ）2+c（ a 0），当自变量x 分别取2 、3、0 时，对应的函数值分别：y1， y2， y3，就 y1， y2， y 3 的大小关系正确选项（）A y 3 y 2 y 1B y 1 y2 y3Cy2 y 1 y
4、 3D y3 y 1 y 2思路分析： 依据抛物线的性质，开口向上的抛物线，其上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大， x 取 0 时所对应的点离对称轴最远，x 取2 时所对应的点离对称轴最近，即可得到答案解： 二次函数y=a（x-2 ） 2+c （ a0），该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2 抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，x 取 0 时所对应的点离对称轴最远，x 取2 时所对应的点离对称轴最近，y 3 y2 y1 应选 B 点评： 此题考查了二次函数图象上点的坐标特点解题时，需熟识抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，就抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大对应训练21
5、151（ 2021.衢州）已知二次函数y=x -7x+，如自变量x 分别取 x 1， x 2， x 3，且 0x122x 2 x3，就对应的函数值y 1， y 2， y 3 的大小关系正确选项（）A y 1 y 2 y 3B y 1 y2 y3Cy2 y 3 y 1D y2 y3 y12 A2解： 二次函数y=1215x -7x+，22此函数的对称轴为：x=b =77 ，2a21 20 x 1 x 2 x 3，三点都在对称轴右侧，a 0，对称轴右侧y 随 x 的增大而减小，y 1 y2 y3 应选： A 考点二：二次函数的图象和性质例 2（ 2021.咸宁）对于二次函数y=x 2-2mx-3
6、，有以下说法：它的图象与x 轴有两个公共点；假如当x1时 y 随 x 的增大而减小，就m=1 ；假如将它的图象向左平移3 个单位后过原点，就m=-1 ；假如当x=4 时的函数值与x=2021 时的函数值相等，就当x=2021 时的函数值为 -3其中正确的说法是（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x 轴的交点思路分析： 依据函数与方程的关系解答；找到二次函数的对称轴，再判定函数的增减性；将 m=-1 代入解析式，求出和x 轴的交点坐标，即可判定；依据坐标的对称性，求出m 的值，得到函数解析式，将m=2021 代入解析式即可解： =4m2 -4 （
7、 -3）=4m 2 +12 0，它的图象与x 轴有两个公共点，故本选项正确；当 x1时 y 随 x 的增大而减小，函数的对称轴x=-2m 1在直线 x=1 的右侧（包2括与直线x=1 重合），就2m1，即 m1，故本选项错误；2将 m=-1 代入解析式，得y=x 2+2x-3 ，当 y=0 时，得 x2 +2x-3=0 ，即（ x-1）（ x+3 ）=0，解得， x1=1， x 2=-3，将图象向左平移3 个单位后不过原点，故本选项错误；当x=4时的函数值与x=2021时的函数值相等，对称轴为x=420212=1006 ，就2m=1006 ，m=1006，原函数可化为y=x22-2021x-3
8、 ，当 x=2021 时，y=20212-2021 2021-3=-3 ，故本选项正确故答案为（多填、少填或错填均不给分）点评： 此题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x 轴的交点，综合性较强，表达了二次函数的特点对应训练2（ 2021.河北）如图，抛物线y1=a（ x+2 ） 2-3 与 y2= 1 （x-3 ） 2+1 交于点 A （ 1，3），过点2A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ， C就以下结论：无论 x 取何值， y2 的值总是正数；a=1；当 x=0 时， y2 -y 1=4； 2AB=3AC ；其中正确结论是（）A B C D11解：抛物线y
9、 2=（ x-3 ）2+1 开口向上，顶点坐标在x 轴的上方，无论x 取何值，2y2 的值总是正数，故本小题正确；把 A （ 1， 3）代入，抛物线y1=a（ x+2 ）错误；2-3 得， 3=a（ 1+2） 2-3，解得 a= 23，故本小题由两函数图象可知，抛物线y1=a（ x+2 ） 2-3 过原点，当x=0 时， y11122=（ 0-3） +1=，故 y2-y 1=2211，故本小题错误；2物线y1=a（ x+2 ） 2-3 与 y2= 1 （ x-3） 2 +1 交于点 A （ 1， 3），2y 1 的对称轴为x=-2 ， y2 的对称轴为x=3 ，B （ -5，3）， C（5，
10、3）AB=6 ， AC=4 ，2AB=3AC ，故本小题正确 应选 D 考点三：抛物线的特点与a、b、c 的关系例 3（ 2021.玉林）二次函数y=ax2+bx+c （ a0）的图象如下列图，其对称轴为x=1 ，有如下结论：c 1； 2a+b=0 ； b2 4ac；如方程ax2， x ，就 x就正确的结论是（）A B C D+bx+c=0 的两根为x 121 +x2 =2，思路分析： 由抛物线与y 轴的交点在1 的上方，得到c 大于 1，应选项错误；由抛物线的对称轴为x=1 ，利用对称轴公式得到关于a 与 b 的关系，整理得到2a+b=0，选项正确； 由抛物线与x 轴的交点有两个，得到根的判
11、别式大于0，整理可判定出选项错误；令抛物 线解析式中y=0 ，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的 a 与 b 的关系式代入可得出两根之和为2，选项正确，即可得到正确的选项解： 由抛物线与y 轴的交点位置得到：c 1，选项错误；抛物线的对称轴为x=b=1， 2a+b=0，选项正确；2a由抛物线与x 轴有两个交点，得到b2-4ac 0，即 b2 4ac，选项错误；令抛物线解析式中y=0 ，得到 ax2+bx+c=0 ，方程的两根为x1， x2，且bbb=1，及=2，2aax 1+x 2=2，选项正确，a综上，正确的结论有应选 C点评： 此题主要考查了二次函数图象
12、与系数的关系，关键是娴熟把握二次项系数a 打算抛物线的开口方向，当a 0 时，抛物线向上开口；当a 0 时，抛物线向下开口；一次项系 数 b 和二次项系数a 共同打算对称轴的位置：当a 与 b 同号时（即ab 0），对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时（即ab 0），对称轴在y 轴右（简称：左同右异）常数项c 打算抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（ 0， c）对应训练3（ 2021.重庆）已知二次函数y=ax结论中，正确选项（）2+bx+c （ a0）的图象如下列图对称轴为x=1以下2A abc0B a+b=0C2b+c 0D 4a+c 2b3 D3解： A 、开口向上，a 0，与
13、y 轴交与负半轴，c 0，对称轴在y 轴左侧，b 0，2ab 0，abc 0， 故本选项错误；b1B、对称轴：x=，2a2a=b，故本选项错误；C、当 x=1 时， a+b+c=2b+c 0， 故本选项错误；D、对称轴为x=1，与 x 轴的一个交点的取值范畴为x1 1，2与 x 轴的另一个交点的取值范畴为x 2 -2，当 x=-2 时， 4a-2b+c 0， 即 4a+c 2b，故本选项正确应选 D 考点四：抛物线的平移例 4（ 2021.桂林）如图，把抛物线y=x 2 沿直线 y=x 平移2 个单位后，其顶点在直线上的 A 处，就平移后的抛物线解析式是（）A y= （ x+1 ）2 -1B y=（ x+1 ） 2+1C y= （
