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1、2021 年中考数学专题复习第十四讲二次函数的同象和性质【基础学问回忆】一、二次函数的定义:一、一般地假如y=(a、b、c 是常数 a0)那么 y 叫做 x 的二次函数【赵老师提示:二次函数 y=kx 2+bx+ca 0的 结构特点是: 1、等号左边是函数,右边是关 于 自 变 量 x 的 二 次 式 , x 的 最 高 次 数 是,按一次排列2、强调二次项系数a0】二、二次函数的同象和性质:1、二次函数y=kx2 +bx+ca轴式的0同象是一条,其定点坐标为对称2、在 抛物 y=kx2b+bx+ca 0中 : 1、当 a0 时, y 口向,当 x-时, y2a随 x 的增大而,当 x时,y
2、随 x 的增大而增大, 2、当 a0 时,开口b向当 x-时, y 随 x 增大而增大,当 x时, y 随 x 增大而减小2a【赵老师提示:留意几个特别形式的抛物线的特点1、y=ax2 ,对称轴定点坐标2、y= ax2 +k,对称轴定点坐标3、y=ax-h 2 对称轴定点坐标4、y=ax-h 2 +k 对称轴定点坐标】三、二次函数同象的平移【赵老师提示:二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移,当然要把握整抛物线的平移,只要关键的顶点平移即可】四、二次函数 y= ax2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系:a:开口方向向上就 a0,向下就 a0a越大,开口越b:对称轴位置,与 a 联系一起,
3、用判定 b=0 时,对称轴是c:与 y 轴的交点:交点在y 轴正半轴上,就c0 负半轴上就 c0,当 c=0时,抛物点过点【赵老师提示:在抛物线y= ax2+bx+c 中,当 x=1 时, y=当 x=-1 时y=,常常依据对应的函数值判考a+b+c 和 a-b+c 的符号 】【重点考点例析】考点一:二次函数图象上点的坐标特点例 1 ( 2021.常州)已知二次函数y=a( x-2 )2+c( a 0),当自变量x 分别取2 、3、0 时,对应的函数值分别:y1, y2, y3,就 y1, y2, y 3 的大小关系正确选项()A y 3 y 2 y 1B y 1 y2 y3Cy2 y 1 y
4、 3D y3 y 1 y 2思路分析: 依据抛物线的性质,开口向上的抛物线,其上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大, x 取 0 时所对应的点离对称轴最远,x 取2 时所对应的点离对称轴最近,即可得到答案解: 二次函数y=a(x-2 ) 2+c ( a0),该抛物线的开口向上,且对称轴是x=2 抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大,x 取 0 时所对应的点离对称轴最远,x 取2 时所对应的点离对称轴最近,y 3 y2 y1 应选 B 点评: 此题考查了二次函数图象上点的坐标特点解题时,需熟识抛物线的有关性质:抛物线的开口向上,就抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大对应训练21
5、151( 2021.衢州)已知二次函数y=x -7x+,如自变量x 分别取 x 1, x 2, x 3,且 0x122x 2 x3,就对应的函数值y 1, y 2, y 3 的大小关系正确选项()A y 1 y 2 y 3B y 1 y2 y3Cy2 y 3 y 1D y2 y3 y12 A2解: 二次函数y=1215x -7x+,22此函数的对称轴为:x=b =77 ,2a21 20 x 1 x 2 x 3,三点都在对称轴右侧,a 0,对称轴右侧y 随 x 的增大而减小,y 1 y2 y3 应选: A 考点二:二次函数的图象和性质例 2( 2021.咸宁)对于二次函数y=x 2-2mx-3
6、,有以下说法:它的图象与x 轴有两个公共点;假如当x1时 y 随 x 的增大而减小,就m=1 ;假如将它的图象向左平移3 个单位后过原点,就m=-1 ;假如当x=4 时的函数值与x=2021 时的函数值相等,就当x=2021 时的函数值为 -3其中正确的说法是(把你认为正确说法的序号都填上)考点:二次函数的性质;二次函数图象与几何变换;抛物线与x 轴的交点思路分析: 依据函数与方程的关系解答;找到二次函数的对称轴,再判定函数的增减性;将 m=-1 代入解析式,求出和x 轴的交点坐标,即可判定;依据坐标的对称性,求出m 的值,得到函数解析式,将m=2021 代入解析式即可解: =4m2 -4 (
7、 -3)=4m 2 +12 0,它的图象与x 轴有两个公共点,故本选项正确;当 x1时 y 随 x 的增大而减小,函数的对称轴x=-2m 1在直线 x=1 的右侧(包2括与直线x=1 重合),就2m1,即 m1,故本选项错误;2将 m=-1 代入解析式,得y=x 2+2x-3 ,当 y=0 时,得 x2 +2x-3=0 ,即( x-1)( x+3 )=0,解得, x1=1, x 2=-3,将图象向左平移3 个单位后不过原点,故本选项错误;当x=4时的函数值与x=2021时的函数值相等,对称轴为x=420212=1006 ,就2m=1006 ,m=1006,原函数可化为y=x22-2021x-3
8、 ,当 x=2021 时,y=20212-2021 2021-3=-3 ,故本选项正确故答案为(多填、少填或错填均不给分)点评: 此题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x 轴的交点,综合性较强,表达了二次函数的特点对应训练2( 2021.河北)如图,抛物线y1=a( x+2 ) 2-3 与 y2= 1 (x-3 ) 2+1 交于点 A ( 1,3),过点2A 作 x 轴的平行线,分别交两条抛物线于点B , C就以下结论:无论 x 取何值, y2 的值总是正数;a=1;当 x=0 时, y2 -y 1=4; 2AB=3AC ;其中正确结论是()A B C D11解:抛物线y
9、 2=( x-3 )2+1 开口向上,顶点坐标在x 轴的上方,无论x 取何值,2y2 的值总是正数,故本小题正确;把 A ( 1, 3)代入,抛物线y1=a( x+2 )错误;2-3 得, 3=a( 1+2) 2-3,解得 a= 23,故本小题由两函数图象可知,抛物线y1=a( x+2 ) 2-3 过原点,当x=0 时, y11122=( 0-3) +1=,故 y2-y 1=2211,故本小题错误;2物线y1=a( x+2 ) 2-3 与 y2= 1 ( x-3) 2 +1 交于点 A ( 1, 3),2y 1 的对称轴为x=-2 , y2 的对称轴为x=3 ,B ( -5,3), C(5,
10、3)AB=6 , AC=4 ,2AB=3AC ,故本小题正确 应选 D 考点三:抛物线的特点与a、b、c 的关系例 3( 2021.玉林)二次函数y=ax2+bx+c ( a0)的图象如下列图,其对称轴为x=1 ,有如下结论:c 1; 2a+b=0 ; b2 4ac;如方程ax2, x ,就 x就正确的结论是()A B C D+bx+c=0 的两根为x 121 +x2 =2,思路分析: 由抛物线与y 轴的交点在1 的上方,得到c 大于 1,应选项错误;由抛物线的对称轴为x=1 ,利用对称轴公式得到关于a 与 b 的关系,整理得到2a+b=0,选项正确; 由抛物线与x 轴的交点有两个,得到根的判
11、别式大于0,整理可判定出选项错误;令抛物 线解析式中y=0 ,得到关于x 的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出两根之和,将得到的 a 与 b 的关系式代入可得出两根之和为2,选项正确,即可得到正确的选项解: 由抛物线与y 轴的交点位置得到:c 1,选项错误;抛物线的对称轴为x=b=1, 2a+b=0,选项正确;2a由抛物线与x 轴有两个交点,得到b2-4ac 0,即 b2 4ac,选项错误;令抛物线解析式中y=0 ,得到 ax2+bx+c=0 ,方程的两根为x1, x2,且bbb=1,及=2,2aax 1+x 2=2,选项正确,a综上,正确的结论有应选 C点评: 此题主要考查了二次函数图象
12、与系数的关系,关键是娴熟把握二次项系数a 打算抛物线的开口方向,当a 0 时,抛物线向上开口;当a 0 时,抛物线向下开口;一次项系 数 b 和二次项系数a 共同打算对称轴的位置:当a 与 b 同号时(即ab 0),对称轴在y 轴左;当 a 与 b 异号时(即ab 0),对称轴在y 轴右(简称:左同右异)常数项c 打算抛物线与y 轴交点,抛物线与y 轴交于( 0, c)对应训练3( 2021.重庆)已知二次函数y=ax结论中,正确选项()2+bx+c ( a0)的图象如下列图对称轴为x=1以下2A abc0B a+b=0C2b+c 0D 4a+c 2b3 D3解: A 、开口向上,a 0,与
13、y 轴交与负半轴,c 0,对称轴在y 轴左侧,b 0,2ab 0,abc 0, 故本选项错误;b1B、对称轴:x=,2a2a=b,故本选项错误;C、当 x=1 时, a+b+c=2b+c 0, 故本选项错误;D、对称轴为x=1,与 x 轴的一个交点的取值范畴为x1 1,2与 x 轴的另一个交点的取值范畴为x 2 -2,当 x=-2 时, 4a-2b+c 0, 即 4a+c 2b,故本选项正确应选 D 考点四:抛物线的平移例 4( 2021.桂林)如图,把抛物线y=x 2 沿直线 y=x 平移2 个单位后,其顶点在直线上的 A 处,就平移后的抛物线解析式是()A y= ( x+1 )2 -1B y=( x+1 ) 2+1C y= (