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1、二次函数当 a 0 时,抛物线开口向,图象有,bb目标1.懂得二次函数的概念; 把握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律;2.会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象;3.会用待定系数法求二次函数的解析式;4. 利用二次函数的图象,明白二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值5.懂得二次函数与一元二次方程之间的关系;6.会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式,判定抛物线与x 轴的交点情形;7.会利用韦达定懂得决有关二次函数的问题;8.会利用二次函数的图象及性质解决有关几何问题;且 x2a ,y
2、随 x 的增大而, x 2 a ,y 随 x的增大而b( 3)当a 0 时,当x=2a 时,函数为4 acb 2b4 a;当 a 0 时,当 x=2a时,函数为4 acb 24 a3. 二次函数表达式的求法:( 1)如已知抛物线上三点坐标,可利用待定系数法求得yax2重点bxc ;二次函数的概念、图像和性质;二次函数解析式( 2)如已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程,就可采纳的确定;二次函数性质的综合运用顶点式:yaxh2k其中顶点为 h , k 对称轴为难点二次函数的图像与系数的关系以及抛物线的平移直线 x=h ;( 3)如已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标,规律;二次函数性质的综合运
3、用一:【课前预习 】(一):【学问梳理】就可采纳两根式:yaxx1 xx2 点坐标为( x1, 0),( x2, 0),其中与 x 轴的交1 二 次 函 数 的 定 义 : 形 如yax2bxc【名师提示:留意几个特别形式的抛物线的特点1、y=ax2 ,对称轴顶点坐标()的函数为二次函数【名师提示:二次函数 y=kx 2 +bx+ca 0的 结构特点是:1、等号左边是函数, 右边是 关 于 自 变 量 x 的 二次 式 , x 的 最 高 次 数 是, 按一次排列2、强调二次项系数a0】22、y= ax+k,对称轴顶点坐标3、y=ax-h 2 对称轴顶点坐标4、y=ax-h 2 +k 对称轴顶
4、点坐标】八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a2二次函数的图象及性质:yax2( 1 ) 二 次 函 数bxc的 图 象 是 一二次函数yax2bxc 中,a 作为二次项系数,明显条顶点为 ,对称轴 ;a 0 当 a 0 时,抛物线开口向,图象有 (最 当 a0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越b大值),且 x 2a ,y 随 x 的增大而, x 小,反之 a 的值越小,开口越大; 当 ab0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越2 a , y 随 x 的增大而;小,反之 a 的值越大,开口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负1打算开口方向
5、,a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴4 二次函数图象的平移【名师提示:二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移,当然要把握整抛物线的平移,只要关键的顶点平移即可】5、二次函数 y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系: 在 a0 的前提下,a:开口方向向上就 a0, 向下就 a0 a越大,开口越b0b:对称轴位置,与a 联系一起,用判定 b=0 时,对当 b0 时,2a,即抛物线的对称轴在y 轴左侧;称轴是b0c:与 y 轴的交点:交点在y 轴正半轴上,就c0 负半当 b0 时,当 b0 时,2a,即抛物线的对称轴就是y
6、 轴;0b2a,即抛物线对称轴在y 轴的右侧轴上就 c0,当 c=0 时,抛物点过点【名师提示:在抛物线y= ax2+bx+c 中,当 x=1 时, y=当x=-1时y=,常常依据对应的函数值判考 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即a+b+c 和 a-b+c 的符号】b0当 b0 时,当 b0 时,当 b0 时,2a,即抛物线的对称轴在y 轴右侧;b 02a,即抛物线的对称轴就是y 轴;b02a,即抛物线对称轴在y 轴的左侧5.二次函数与一元二次方程:二次函数 y= ax2+bx+c 的同象与 x 轴的交点的横坐标对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实数根,它们都由根的判别式打
7、算抛物线x 轴有个交点 b2-4ac0一元二次方程有实数根总结起来, 在 a 确定的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置抛物线x 轴有个交点 b2次方程有实数根-4ac=0一元二xab 的 符 号 的 判 定 : 对 称 轴b2 a 在 y 轴 左 边 就抛物线x 轴有个交点 b2-4ac0一元二次方程有实数根【名师提示: 如抛物线与x 轴有两交点为A(x1,0 )Bx2,0 ab0 ,在 y 轴的右侧就ab0 ,概括的说就是“左同就 抛 物 线 对 称 轴 式x=两 交 点 间 距 离AB】右异” 总结:3. 常数项 c6.二次函数解析式的确定:1、设顶点式,即:设当知道抛物线的顶点坐标或对
8、称轴方程与函数最值时, 当 c0 时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛除代入 这一点外 ,再知道一个点的坐标即可求函数解析式物线与 y 轴交点的纵坐标为正;2、设一般式,即:设 当 c0 时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应 数值可设为一般式,从而列三元一次方程组求的函数解物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ;析式【名师提示: 求二次函数解析式,依据详细同象特点灵 当 c0 时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛活设不同的关系或除上述常用方法以外,仍有: 如抛物线顶点在原点可设以y 轴为对称轴,可设物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来,
9、c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的顶点在 x 轴上,可设抛物线过原点等】7、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题:步骤: 1、分析数量关系建立模型2、设自变量建立函数关系23、确定自变量的取值范畴4、依据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范畴求出函数最值2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题一般步骤: 1、求一些特别点的坐标2、将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式3、结合图像依据自变量取值争论点的存在性或图形的外形等问题【名师提示:1、在有关二次函数最值的应用问题中肯定要留意自变量的取值范畴2、有关二次函数综合性问题
10、中一般作为中考压轴题显现,解决此类问题时要将题目分解开来,争论过程中要尽量将问题】当 x=2021 时的函数值为-3其中正确的说法是(把你认为正确说法的序号都填上)考点:二次函数的性质;二次函数图象与几何变换;抛物线与x 轴的交点思路分析: 依据函数与方程的关系解答;找到二次函数的对称轴,再判定函数的增减性;将 m=-1 代入解析式, 求出和 x 轴的交点坐标, 即可判定;依据坐标的对称性,求出m 的值,得到函数解析式,将 m=2021 代入解析式即可解: =4m 2-4 ( -3)=4m 2 +12 0,它的图象与x轴有两个公共点,故本选项正确;当 x1时 y 随 x 的增大而减小, 函数的
11、对称轴x=-2m21在直线 x=1 的右侧(包括与直线x=1 重合),【重点考点例析】考点一:二次函数图象上点的坐标特点例 1 ( 2021.常州) 已知二次函数y=a(x-2 )2 +c( a 0),2m就21,即 m1,故本选项错误;将m=-1 代入解析式,得y=x 2+2x-3 ,当y=0时,得当自变量x 分别取2 、 3、0 时,对应的函数值分别:x 2+2x-3=0 ,即( x-1)( x+3 ) =0,解得, x 1=1 , x 2=-3 ,y1,y2 ,y3,就 y1,y2 ,y3 的大小关系正确选项()A y3 y 2 y 1B y1 y2 y3将图象向左平移3 个单位后不过原
12、点,故本选项错误;当 x=4 时的函数值与x=2021 时的函数值相等, 对C y2 y1 y 3D y3 y1 y 2思路分析:依据抛物线的性质,开口向上的抛物线,其上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大,x 取 0 时所称轴为x=420212=1006 ,就2m2=1006, m=1006 ,对应的点离对称轴最远,x 取2 时所对应的点离对称轴原 函 数 可 化 为y=x 2-2021x-3 , 当x=2021时 ,2y=2021 -2021 2021-3=-3 ,故本选项正确最近,即可得到答案点评: 此题考查了二次函数图象上点的坐标特点解题时,需熟识抛物线的有关性质:抛物线的开口向上,就抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大对应训练故答案为(多填、少填或错填均不给分) 点评: 此题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x 轴的交点,综合性较强,表达了二次函数的特点对应训练1(2021.衢州) 已知二次函数y=12 x2-7x+152 ,如自变2( 2021.河北)如图,抛物线 y1 =(ax+22-3 与 y2=12( x-3 )量 x 分别取 x 1,x 2, x 3,且 0 x1 x2 x 3,就对应的函数值 y 1, y2 , y3 的大小关系正确选项()A y1 y 2 y 3B y1 y2 y3 C y2 y3 y 1D y2 y3 y1考