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1、名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载第五章：拉普拉斯变换和连续时间系统的S 域分析5.1. 概述基于傅立叶变换的信号与系统的频域分析 ，是以虚指数信号 ej t 为基本信号，获得任意信号可分解为众多不同频率的虚指数重量之和；由于傅立叶变换物理意义清晰，可使响应的求解得到简化，因此对于信号与系统分析是很有效的，所以得到相当广泛的应用；但它也有不足：（ 1）由于傅立叶积分存在的充分条件是：要求被积函数 f t 肯定可积；而对于不符合肯定可积条件的函数，如 ut ，虽也可通过其它方法求出其傅立叶变换，但一般它们的频谱函数中包含了
2、函数，这可能会给信号的分析与运算带来一些麻烦；（ 2）有些重要信号不存在傅里叶变换，如正指数函数 e2t ut，上述不足使傅立叶变换的应用受到了限制；（ 3）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析；但如把频域 中的傅立叶变换推广到复频域的拉普拉斯变换，就能克服傅立叶变换的缺点；因此，拉普拉斯变换成为线性时不变系统分析的强有力工具； 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载拉普拉斯变换与傅立叶变换之间有很多类似之处；傅立叶变换是将时间信号f t 分解为无穷多项虚指数信号
3、ej t 之和；本章就引入复频率 s= +j , 以st复指数函数 e为基本信号，论证任意时间信号f t 可以分解为无穷多项复指数信号 est 之和； 这里，用于系统分析的独立变量是复频率 s，故称为 s域分析 ；所采纳的数学工具为拉普拉斯变换，因此可把拉氏变换看做是傅立叶变换的推广；同时，傅立叶变换与拉氏变换的很多重要性质也是特别相像的；5.2. 拉普拉斯变换一、从傅立叶变换 到拉普拉斯变换由第 3章可知，函数f t 在满意 肯定可积 的条件下，必定存在其的傅立叶正反变换，且定义式为：F jf tejt dtf t 1 2F je jt d但对于有些 不满意 肯定可积 条件的信号， 如正指数
4、信号f t et 0（此信号在 t时不断发散） ，其傅立叶变换将不存在；为依旧求其的傅立叶变换，可考虑引用一个衰减因子et 这里，选为一个充分大的正实数 乘以原信号f t ，使乘积信号f t et 在 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载t时信号幅度趋近于零，从而使f t et 符合 肯定可积 的条件，也即f tet 的傅立叶变换存在；现在，可以对信号f t et 进行傅立叶变换，可得：Fb jF f tef t et tejt dtf t ejt dt令式中 s
5、j，就上式变为Fb sf test dt5.2-1由于响应的傅立叶逆变换为：f t et12Fb je jt d两边同时乘以et ，得到：f t 1 2Fb jet e jt d依旧 令式中 sj，考虑到为一实常数，因此dsjd变为；且当时，有 sj，因此上式即f t 1 2jjjFbsestds5.2-2式 5.2-1和5.2-2虽然是由傅立叶变换的形 式推导而来，但它们已经不是原先意义上的傅立叶变 换了，它们组成了一个新的变换对 ，称为 双边 拉普拉斯变换 ，其中式 5.2-1称为双边拉普拉斯变换正变 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资
6、料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载换，式 5.2-2称为双边拉普拉斯变换逆变换 ，它们又可分别简记为：Fb sLb ftf test dtf tL 1 Fs1jF sest dsbb2jjb上两式中，下标b表示 双边 拉氏变换，Fb s 称为 象函数， f t 称为 原函数 ；假如 ft 为因果函数 即当 t0 时，f t0 ，可以定义 单边 拉普拉斯变换 如下：F sL ft 0f t estdtf t L 1 F s12jjjFbsestdsut 较之于 双边 拉普拉斯变换 ，单边 拉普拉斯变换 的应用要广泛的多；二、拉普拉斯变换的收敛域前已指
7、出，不满意肯定可积条件的函数f t 乘以衰减因子 et 之后，就有可能 满意了肯定可积条件，从而使 f t 的拉普拉斯变换存在；因此只有挑选了适当的值使f tet 的积分收敛，也即limfttet0 ，信号 f t 的拉普拉斯变换才肯定 存在；也就是说，信号 f t 的拉普拉斯变换存在有收敛域的问题； 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载收敛域定义：在以为实轴、 j为虚轴组成的s复平面中，凡能使F s存在的s值取值范畴，就称之为拉氏变换的 收敛域 ；下面对单边 /
8、 双边拉氏变换的收敛域进行分析；1、单边 拉氏变换 的收敛域如因果函数f t 与 et 的乘积f tet ，在1时有 limf tet t0 ，就函数f t 的拉氏变换F s 在 s平面上 Re s1的范畴内是收敛的 或存在的 ，过1的垂直线称为收敛边界；例如， 函数f tet ut ，当0时是发散的，但它如与et相乘 ，就依靠 et 更快的衰减速率即可使limf t et0，t从而使得函数f t 的拉氏变换F s 存在，其收敛域如下列图为1；并非全部的函数都能找到一个1，在1时使式 limf tet t0 成立，如函数et 2ut ，t t ut 等，它们随t 的增长速率比et 无论为何值
9、的衰减速率仍要快，因此这时函数f t的拉氏变换就不存在，但这类 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载函数工程实际中很少遇见；满意式limf t et t0 的函数f t 又称为“ 指数阶函数 ”，意思是可借助于指数函数的衰减作用将函数f t 可能存在的发散性压下去，使之成为收敛函数；现以几个简洁函数为例，进一步争论拉氏变换的收敛域；(1) 时限信号：时限信号在时间轴上有始有终，其能量是有限的；对于任何的值，式立，因此整个 s平面均属收敛域；limf t et t0
10、均成(2) 单位阶跃信号ut ：只要0，都有limutet0 ，t可见单位阶跃信号的收敛域为s的右半平面；(3) t 的幂函数t n ：只要0，都有lim t nett0 ，可见该信号的收敛域也为s的右半平面；2、双边 拉氏变换 的收敛域由于双边拉式变换的积分限为到，因此对信号 f t 可分别在正负时间轴上进行表示；假设f te tt0tf1tutf2tut0,0et0 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载这里，f1t et ，f 2 t e t ，就f t 的双边拉式变换可以看成是加，即f1 t ut 与f 2 t t 两个函数拉式变换的叠Fb sf t estdt0f1t est dt0f 2 test dtF1s其中，F2 sF1 s 是对 因果信号f1t ut 的单边拉式变换，因此其收敛域为1；F2 s 是对 反因果信号t，就有f 2 t ut 的拉式变换， 如令F2 s0f2 t estdt0f 2 esd自变量假如仍旧用 t 表示，上式变为F2 s0f 2 t estdt0f 2 t et e jt dt欲使 limf 2 tte tlim ett e tlim ett0就应有2即，使得反因果函数f 2 tut 的拉氏变换
