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1、第六章平面向量及其应用知识梳理【体系构建】一、向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模)零向量长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量二、平面向量的线性运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法向量a加上向量b
2、的相反向量叫做a与b的差数乘实数与向量a的积是一个向量,记作a(1)模:|a|=|a|;(2)方向:当0时,a与a的方向相同;当0时,a与a的方向相反;当=0时,a=0设,是实数.(1)(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(3)(a+b)=a+b三、共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使b=a.四、平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2.若e1,e2不共线,我们把e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.五、平面向量的数量积及坐标表示设a=(x1,y1),b
3、=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=x12+y12,ab=|a|b|cos=x1x2+y1y2.六、余弦定理及其推论1.余弦定理三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.2.推论cos A=b2+c2-a22bc,cos B=a2+c2-b22ac,cos C=a2+b2-c22ab.七、正弦定理及其常见变形1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
4、,即asinA=bsinB=csinC=2R(R为ABC外接圆半径).2.常见变形a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R,abc=sin Asin Bsin C,a+b+csinA+sinB+sinC=2R.第六章平面向量及其应用考点专项训练 考点一向量的基本概念解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一
5、谈(5)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量一选择题1给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小为实数），则必为零，为实数，若，则与共线其中正确的命题个数为A1B2C3D4【答案】A【解析】对于，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，错误；对于，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，但它们的模能比较大小，正确；对于，时为实数），或，错误；对于，若时，此时与不一定共线，错误；综上，其中正确的命题为，共1个故选A2下列说法中正确的是A平行向量不一定是共线向量B单位向量都相等C若，满足且与同向，则D对于任意向量，必有【答案】D【解析】平
6、行向量是共线向量，故不正确；单位向量的模相等，方向不一定相同，故不正确；若，满足且与同向，则显然不正确，向量不能比较大小，故错误；向量的加法的平行四边形法则，可知对于任意向量，必有，故正确；故选D3有下列命题：两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；若，则；若，则四边形ABCD是平行四边形；若，则；若，则；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中，假命题的个数是A2B3C4D5【答案】C【解析】对于，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，正确；对于，若，则、不一定相同，错误；对于，若，、不一定相等，四边形不一定是平行四边形，错误；对于，若，则，正确；对于，若，当时，不一定成立，错误；
7、对于，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，错误；综上，假命题是，共4个故选C4（共线向量的概念）下列命题中，正确的是A若，则与方向相同或相反B若，则C若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D若，则【答案】D【解析】由于零向量的方向是任意的，取，则对于任意向量，都有，知错；取，则对于任意向量，都有，但得不到，知错；两个单位向量互相平行，方向可能相反，知错；由两向量相等的概念知正确故选D5已知向量不共线，若，则ABCD【答案】D【解析】向量不共线，解得，故选D6已知向量，不共线，且，若与方向相反，则实数的值为ABC1或D或【答案】A【解析】由，且与方向相反，所以，即，解得或，当时，与反
8、向，当时，与同向，所以实数的值为故选A二填空题7给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若，则；若，则，四点构成平行四边形；在平行四边形中，一定有；若，则；若向，则其中错误的命题有（填序号）【答案】【解析】在中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同，故错误；在中，若，则与大小相等，方向不一定相同，故错误；在中，若，则，四点不一定构成平行四边形，故错误；在中，在平行四边形中，由向量相等的定义得一定有，故正确；在中，若，则向量相等的定义得，故正确；在中，若向，当时，与不一定平行，故不正确故答案为：8下列说法中：两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；若，则；若非
9、零向量共线，则；向量，则向量共线；由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；其中正确的序号为【答案】【解析】对于，根据相等向量的定义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确；对于，当时，与不一定相等，命题错误；对于，若非零向量共线，则不一定成立，命题错误；对于，向量时，向量共线，命题正确；对于，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题错误；综上，正确的命题序号是故答案为：三解答题9已知向量，（）若，求，的值；（）若向量满足，求的坐标【答案】【解析】（）向量，由，所以，所以，解得；（）设，则，由，且，所以，解得或，所以或10设两个非零向量与不共线（）若，且与平行，求
10、实数的值；（）若，求证：，三点共线【解答】（）解：由，所以，因为与平行，所以有，解得（）证明：因为，所以，即，所以与共线，因此，三点共线考点二平面向量的线性运算平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合平行四边形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则一选择题1已知等边三角形ABC的边长为6，点满足，则ABCD【答案】C【解析】，故，故，故，故选C2在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点，则ABCD【答案】B【解析】在平行四边形中，设对角线与相交于点，则故选B3已知
11、点是正方形ABCD的中心，点为正方形ABCD所在平面外一点，则等于ABCD【答案】A【解析】如图，故选A4已知向量，若，则A1B0CD2【答案】A【解析】，得，故选A5在平行四边形ABCD中，若是DC的中点，则ABCD【答案】C【解析】如图所示，平行四边形中，则，又是的中点，则故选C6在等腰梯形ABCD中，为BC的中点，则ABCD【答案】B【解析】如图所示，等腰梯形中，；又为的中点，又，；故选B7在中，若点满足，则ABCD【答案】C【解析】在中，；如图；，又，；故选C8如图，在中，点是BC边上靠近的三等分点，则ABCD【答案】C【解析】故选C二填空题9在直角坐标系中，为原点，则【答案】0【解析
12、】，故答案为：010在中，已知是边上一点，若，则【答案】【解析】中，是边上一点，如图所示，；得，；故答案为：三解答题11如图，已知中，为的中点，交于点，设，（1）用，分别表示向量，；（2）若，求实数的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，为的中点，且，；（2），共线，12如图所示，在中，与相交于点，设，（1）试用向量，表示；（2）过点作直线，分别交线段，于点，记，求证：为定值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，三点共线，可设，由，三点共线，可设，因为，不共线，所以，解得，故（2）因为，三点共线，设，由（1）知，即，所以，故考点三 平面向量数量积的运算向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.一选择题1已知，且与的夹角为，则ABCD【答案】A【解析】，且与的夹角为，故，故选A2已知向量满足，则A3
