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1、学习必备欢迎下载圆锥曲线1. 圆锥曲线的两定义：第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件： 椭圆中 ，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此 常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段 F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹； 双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于 | F1F2| ，定义中的 “绝对值”与2a|F1F2| 不可忽视 。若2a |F1F2| ，则轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2| ，则轨迹不存在。 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如 方 程2222(6)(6)8xyxy表
2、 示 的曲线是 _（答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点） 在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（ 1 ） 椭 圆 ： 焦 点 在x轴 上 时12222byax（0ab）， 焦 点 在y轴 上 时2222bxay 1（0ab） 。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC 0，且 A，B，C 同号， AB） 。若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是 _，22yx的最小值是 _（答：5,2）（ 2）双曲线 ：焦点在x轴上：2222byax =1 ，焦点 在y轴 上 ：2222bxay 1（0,0ab） 。 方 程22AxByC表示双曲线的
3、充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号） 。如 设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C 过点)10, 4(P，则 C的方程为 _（答：226xy）（ 3）抛物线 ：开口向右时22(0)ypx p，开口 向 左 时22(0 )yp xp， 开 口 向 上 时22(0)xpy p，开口向下时22(0)xpy p。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆 ：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如 已知方程12122mymx表示焦点在y 轴上的椭圆，则 m的取值范围是_ （答：)23, 1()1,(）（2）双曲线 ：由x
4、2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒 ：在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。4. 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆 （以12222byax（0ab）为例）：范围 ：,axabyb； 焦点 ：两个焦点(,0)c； 对称性 ：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（ 0,0 ） ，四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为 2a，短轴长为2b； 准线 ：两条准线2axc；离心率 ：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如 （1） 若椭圆1522myx的离心率510e，
5、 则m的值是 _（答： 3 或325） ；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时， 则椭圆长轴的最小值为_ （答：22）（2）双曲线 （以22221xyab（0,0ab）为例） ： 范围 ：xa或,xa yR； 焦点 ：两个焦点(,0)c； 对称性 ：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0 ） ，两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时 ， 称 为 等 轴 双 曲 线 ， 其 方 程 可 设 为22,0 xyk k；准线 ：两条准线2axc； 离 心 率 ：cea， 双 曲 线1e， 等 轴 双 曲 线2e，e越小，开口
6、越小，e越大，开口越大；两条渐近线 ：byxa。（ 3）抛物线 （以22(0)ypx p为例）： 范围 ：0,xyR；焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是： 焦点到准线的距离；对称性 ：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0） ；准线 ：一 条 准 线2px； 离 心 率 ：cea， 抛 物 线1e。如设Raa, 0， 则抛物线24axy的焦点坐标为_（答：)161, 0(a） ；5、点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系 ： （1）点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab； （2）点00(,)P xy在 椭 圆 上220220byax 1
7、； （ 3） 点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab6直线与圆锥曲线的位置关系：（1） 相交 ：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离 ：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。提醒
8、 ： （1）直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。 如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； （2） 过双曲线2222byax1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； P 在两条渐近线上但非原点，只有两条： 一条是与另一渐
9、近线平行的直线，一条是切线； P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：20tan|2Sbc y，当0|yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc；对于双曲线2tan2bS。 如（1）短轴长为5，练习：点P 是双曲线上11222yx上一点，21,FF为双曲线的两个焦点，且21PFPF=24，求21FPF的周长。8、 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB为焦点弦， M 为准线与x 轴的
10、交点，则AMF BMF ； （3）设 AB为焦点弦， A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若 P 为 A1B1的中点，则PA PB ； （4）若 AO的延长线交准线于C，则 BC平行于 x 轴，反之，若过B点平行于 x 轴的直线交准线于C点，则 A，O，C三点共线。9、弦长公式 ：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点 A、B，且12,xx分别为 A、B 的横坐标，则AB2121kxx，若12,yy分别为 A、B 的纵坐标，则AB21211yyk， 若弦 AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转
11、化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；弦所在直线的方程：垂直平分线的方程：在双曲线22221xyab中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；在抛物线22(0)ypx p中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0py。提醒 ：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件， 故在求解有关弦长、对称问题时， 务必别忘了检验0！11了解下列结论（1） 双曲线12222byax的渐近线方程为0b
12、yax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为2p，焦准距为p；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)ypx p的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x yB xy，则12|ABxxp；221212,4px xy yp（7）若 OA 、OB是过抛物线22(0)ypx p顶点O的两条互相垂直的弦，则
13、直线AB恒经过定点(2,0)p12.圆锥曲线中线段的最值问题：例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,42)与 到 准 线 的 距 离 和 最 小 , 则 点P的 坐 标 为_ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点学习必备欢迎下载FAPHBQF的距离和最小,则点 Q 的坐标为。分析：（ 1） A在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当A、P、F 三点共线时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解： （1） （2，2） （2） （1 ,41）1、 已知椭圆C1的
14、方程为1422yx，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程； (2) 若直线l：2kxy与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足6OBOA( 其中O为原点 ) ，求k的取值范围。解：（）设双曲线C2的方程为12222byax，则.1, 31422222bcbaa得再由故C2的方 程 为221.3xy（ II） 将.0428)41 (1422222kxxkyxkxy得代入由直线l与椭圆 C1恒有两个不同的交点得, 0)14(16)41(16)28(22221kkk即21.4k0926)3
15、1(1322222kxxkyxkxy得代入将. 由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B 得2222222130,11.3( 62 )36(13)36(1)0.kkkkkk即且226 29(,),(,),131366,(2)(2)AABBABABABABABABABABkA xyB xyxxxxkkOA OBx xy yx xy yx xkxkx设则由得而222222(1)2 ()2962(1)22131337.31ABABkx xk xxkkkkkkk22223715136,0.3131kkkk于是即解 此 不 等 式 得22131.153kk或由、得.11513314122kk或故k的
16、取值范围为13311313(1,)(,)(,)(,1)153223152、在平面直角坐标系xOy中，已知点 A(0,-1)，B点在直线 y = -3上， M点满足 MB/OA， MA?AB = MB ?BA ，M点 的 轨 迹 为 曲线 C。（）求C的方程；（） P为 C上的动点，l为 C 在 P点处得切线，求O点到 l 距离的最小值。( ) 设 M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=（-x,-1-y） , MB=(0,-3-y), AB=(x,-2).再由愿意得 知 （MA+MB） ?AB=0, 即 （ -x,-4-2y）?(x,-2)=0. 所以曲线 C的方程式为 y=14x2-2. ( ) 设 P(x0,y0)为曲线 C ：y=14x2-2 上一点， 因为 y=12x, 所以l的斜率为12x0因此直线l的方程为0001()2yyxxx，即200220 x xyyx。则 O 点到l的距离20020|2|4yxdx. 又200124yx，所以2020220014142(4)2,244xdxxx当20 x=0 时取等号，所以O点到l距离的最小值为2. 3 设双
