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1、学习必备欢迎下载专题二高考中的三角函数的综合问题1(2013 北京 )“ ”是“曲线ysin(2x )过坐标原点”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A 解析当 时， ysin(2x ) sin 2x 过原点当曲线过原点时， k ，kZ，不一定有 .“ ”是“曲线 ysin(2x )过原点 ”的充分不必要条件2已知向量a(2，sin x)，b(cos2x,2cos x)，则函数f(x)a b 的最小正周期是() A.2BC2 D4答案B 解析f(x)2cos2x 2sin xcos x1 cos 2xsin 2x12sin 2x4，T22.3若函
2、数 f(x)(13tan x)cos x,0 x2，则 f(x)的最大值为() A1 B2 C.31 D.32 答案B 解析依题意，得f(x) cos x3sin x2sin(x6)，当 0 x2时，6x623，f(x)的最大值是2. 4已知向量 OB(2,0)，向量 OC(2,2)，向量 CA(2cos ，2sin )，则向量 OA与向量 OB的夹角的取值范围是() A. 0，4B.4，512学习必备欢迎下载C.512 ，2D.12，512答案D 解析由题意，得： OAOCCA(22cos ，22sin )，所以点 A 的轨迹是圆 (x 2)2(y2)2 2，如图，当A 位于使向量 OA与圆
3、相切时，向量OA与向量 OB的夹角分别达到最大、最小值，故选D. 5(2012 四川改编 )如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至 E，使AE 1，连接 EC、ED，则 sinCED_. 答案1010解析方法一应用两角差的正弦公式求解由题意知，在RtADE 中， AED45 ，在 RtBCE 中， BE2，BC 1，CE5，则 sin CEB15，cosCEB25. 而 CED45 CEB，sinCEDsin(45 CEB) 22(cosCEBsinCEB) 2225151010. 方法二利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解由题意得ED2，EC12225. 在 EDC 中，由余弦定
4、理得cosCEDCE2DE2 DC22CE DE31010，又 0CED0)(1)求函数 f(x)的值域；(2)若函数 yf(x)的图像与直线y 1的两个相邻交点间的距离为2，求函数 yf(x)的单调增区间思维启迪对三角函数的性质的讨论，首先要化成yAsin(x )k(一角、一次、一函数 )的形式；根据(2)中条件可确定 . 解(1)f(x)32sin x 12cos x 32sin x 12cos x (cos x 1) 2(32sin x 12cos x )12sin(x 6)1. 由 1sin(x 6) 1，得 32sin(x 6)11，所以函数f(x)的值域为 3,1(2)由题设条件及
5、三角函数图像和性质可知，yf(x)的周期为 ，所以2 ，即 2. 所以 f(x)2sin(2x6)1，再由 2k 22x62k 2(kZ)，解得 k 6x k 3(kZ)所以函数yf(x)的单调增区间为k 6，k 3(kZ)思维升华三角函数的图像和性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为yAsin(x )k 的形式，然后将tx 视为一个整体，结合y sin t 的图像求解已知函数f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期；学习必备欢迎下载(2)当 x1924， 时，求函数f(x)的最大值和最小值解f(x)sin2x2sin xcos x3cos
6、2x1sin 2x2cos2x2cos 2xsin 2x22cos(2x4)(1)函数 f(x)的最小正周期T.(2)因为1924x ，所以116 2x494. 所以22cos(2x4)1. 所以 3 22cos(2x4)22，即 3f(x)22. 所以函数f(x)的最小值为3，最大值为22. 学习必备欢迎下载题型二三角函数和解三角形例 2(2013 重庆 )在 ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且 a2b22abc2. (1)求 C；(2)设 cos Acos B325，cos A cos Bcos225，求 tan 的值思维启迪(1)利用余弦定理求C；(2)由(1)和 c
7、os Acos B325可求得 AB，代入求tan . 解(1)因为 a2b22abc2，由余弦定理有cos Ca2b2c22ab2ab2ab22. 又 0C ，故 C34. (2)由题意得sin sin Acos cos A sin sin Bcos cos Bcos225. 因此 (tan sin Acos A)(tan sin Bcos B)25，tan2 sin Asin B tan (sin Acos Bcos Asin B)cos Acos B25，tan2 sin Asin B tan sin(AB) cos Acos B25.因为 C34，所以 A B4，所以 sin(AB)2
8、2，因为 cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，即325 sin Asin B22，解得 sin Asin B32522210. 由 得 tan2 5tan 40，解得 tan 1 或 tan 4. 思维升华三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键(2012 安徽 )设 ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，且有学习必备欢迎下载2sin Bcos Asin Acos Ccos Asin C. (1)求角 A 的大小；(2)若 b2， c1，D 为 BC 的中点
9、，求AD 的长解(1)方法一由题设知， 2sin Bcos Asin(AC)sin B. 因为 sin B0，所以 cos A12. 由于 0A ，故 A3. 方法二由题设可知，2bb2c2a22bcaa2b2c22abcb2c2a22bc，于是 b2c2a2bc，所以 cos Ab2c2a22bc12. 由于 0A ，故 A3. (2)方法一因为 AD2ABAC2214(AB2AC22AB AC) 14(142 12cos 3)74，所以 |AD|72.从而 AD72. 方法二因为 a2 b2c22bccos A41221123，所以 a2c2b2，B2. 因为 BD32，AB1，所以 AD
10、13472. 题型三三角函数与平面向量的综合应用例 3已知向量m3sin x4，1 ，n cos x4，cos2x4. (1)若 m n1，求 cos23 x 的值；(2)记 f(x)m n，在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，且满足 (2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围思维启迪(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值 (2)在ABC 中，求出A 的范围，再求f(A)的取值范围学习必备欢迎下载解(1)m n3sin x4 cos x4cos2x432sin x21cos x22sinx2612，m n1，sinx2612. cos x312s
11、in2x2612，cos23x cos x312. (2)(2a c)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin A sin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C. 2sin Acos Bsin(BC)ABC ，sin(B C)sin A0. cos B12，0B ，B3.0A23. 6A260，| |2)在同一个周期内，当x4时， y 取最大值1，当 x712时，y 取最小值 1. (1)求函数的解析式y f(x)；(2)函数 ysin x 的图像经过怎样的变换可得到yf(x)的图像；(3)若函数 f(x)满足方程f(x)a(
12、0a1)，求在 0,2 内的所有实数根之和解(1)T2(712 4)23 ， 3，又 sin(34 )1，34 2k 2，kZ. 又| |2，得 4，函数的解析式为f(x) sin(3x4)(2)ysin x 的图像向右移4个单位，得到 y sin(x4)的图像，再由 y sin(x4)的图像上所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，得到ysin(3x4)的图像(3)f(x) sin(3x4)的最小正周期为23 ，f(x)sin(3x4)在0,2 内恰有 3 个周期，sin(3x4)a(0a0)的最小正周期为.(1)求 的值；学习必备欢迎下载(2)讨论 f(x)在区间0，2上的单调性解(1)
13、f(x)4cos x sin x422sin x cos x2 2cos2 x2(sin 2 xcos 2 x)2 2sin 2 x42. 因为 f(x)的最小正周期为 ，且 0. 从而有22 ，故 1. (2)由(1)知， f(x)2sin 2x42. 若 0 x2，则42x454. 当42x42，即 0 x8时， f(x)单调递增；当22x454，即8x2时， f(x)单调递减综上可知， f(x)在区间0，8上单调递增，在区间8，2上单调递减3(2013 四川 )在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 2cos2AB2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)35
14、. (1)求 cos A 的值；(2)若 a4 2，b5，求向量 BA在BC方向上的射影解(1)由 2cos2AB2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)35，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B35，即 cos(A B)cos Bsin(AB)sin B35. 学习必备欢迎下载则 cos(A BB)35，即 cos A35. (2)由 cos A35， 0Ab，则 AB，故 B4，根据余弦定理，有(4 2)252c22 5c 35，解得 c 1或 c 7(舍去 )故向量 BA在BC方向上的射影为|BA|cos B22. 4 已知向量a(cos ， sin
15、)， b(cos x， sin x)， c(sin x2sin ， cos x2cos )， 其中 0 x.(1)若 4，求函数f(x)b c 的最小值及相应x 的值；(2)若 a 与 b 的夹角为3，且 ac，求 tan 2的值解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ， cos x2cos )， 4，f(x)b ccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x2(sin xcos x)令 tsin xcos x4x，则 2sin xcos xt21，且 1t2. 则 yt22t1t22232， 1t2，t22时，
16、ymin32，此时 sin xcos x22，即2sin x422，4x ， 2x454 ，x476 ，x1112. 学习必备欢迎下载函数 f(x)的最小值为32，相应 x 的值为1112. (2)a 与 b 的夹角为3，cos 3a b|a| |b|cos cos xsin sin xcos(x )0 x ，0 x 0， 0,0 2)的部分图像如图所示(1)求 f(x)的解析式；(2)设 g(x)f(x12)2，求函数g(x)在 x6，3上的最大值，并确定此时x 的值解(1)由题图知A2，T43，则243， 32. 又 f(6)2sin32(6) 2sin(4 )0，sin( 4)0，0 2，4 44， 40，即 4， f(x) 2sin(32x4)(2)由(1)可得 f(x12)2sin32(x12)4 2sin(32x8)，g(x)f(x12)2 41cos 3x4222cos(3x4)，学习必备欢迎下载x6，3， 4 3x454，当 3x4 ，即 x4时， g(x)max4.
